Cho △ABC vuông tại A có AB = 8 cm, AC = 6 cm, đường trung tuyến AM. Kẻ MD ⊥ AB và ME ⊥ AC.

Giải bài toán như sau:

### 1) Cho △ABC vuông tại A có AB = 8 cm, AC = 6 cm, đường trung tuyến AM. Kẻ MD ⊥ AB và ME ⊥ AC.

#### a) Từ giác ADME là hình gì? Vì sao?

Tứ giác ADME là hình chữ nhật. Bởi vì MD ⊥ AB (tức là AE = MD) và ME ⊥ AC (tức là AD = ME). Do đó, các cạnh AD và ME vuông góc với nhau và bằng nhau, thỏa mãn tính chất của hình chữ nhật.

#### b) Tìm điều kiện của tam giác ABC để tứ giác ADME là hình vuông.

Để tứ giác ADME là hình vuông, các cạnh AD và ME không chỉ phải vuông góc với nhau mà còn phải bằng nhau. Vì vậy, điều kiện cần là:
\[
AD = ME
\]

Dễ nhận thấy từ các cạnh của tam giác vuông ABC, nếu AD = ME thì độ dài của MA sẽ phải bằng nửa hypotenuse của tam giác ABC.

Ở đây, để cụ thể hóa điều kiện:
\[
AB = AM = n = AC
\]
có nghĩa là để tứ giác ADME là hình vuông thì AB và AC phải bằng nhau.

#### c) Tính diện tích △ABM?

Diện tích △ABM được tính bằng công thức:
\[
S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AM
\]

Đầu tiên, chúng ta cần tính chiều dài của AM. Trong một tam giác vuông, chiều dài trung tuyến xuất phát từ đỉnh là:
\[
AM = \frac{1}{2} \sqrt{2AB^2 + 2AC^2 - BC^2}
\]

Với AB = 8 cm và AC = 6 cm, ta tính BC bằng định lý Pittago:
\[
BC = \sqrt{AB^2 + AC^2} = \sqrt{8^2 + 6^2} = \sqrt{64 + 36} = \sqrt{100} = 10 \text{ cm}
\]

Dùng công thức tính AM:
\[
AM = \frac{1}{2} \sqrt{2(8^2) + 2(6^2) - (10^2)} = \frac{1}{2}\sqrt{128 + 72 - 100} = \frac{1}{2}\sqrt{100} = \frac{10}{2} = 5 \text{ cm}
\]

Thay vào công thức tính diện tích:
\[
S_{ABM} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AM = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 5 = 20 \text{ cm}^2
\]

### 2) Cho tam giác ABC có độ dài các cạnh AB = m, AC = n; AD là đường phân giác trong góc A. Tính tỉ số diện tích của tam giác ABD và tam giác ACD.

Theo định lý về tỉ số diện tích của hai tam giác có chung đỉnh (góc A):
\[
\frac{S_{ABD}}{S_{ACD}} = \frac{AB}{AC} = \frac{m}{n}
\]

Như vậy, tỉ số diện tích của hai tam giác ABD và ACD là:
\[
\frac{S_{ABD}}{S_{ACD}} = \frac{m}{n}
\]

Hy vọng những phân tích trên sẽ hữu ích cho bạn trong việc giải bài toán này!