Ta có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {\sqrt {{x^2} + 2x} - x} \right) = 1\) và \(f\left( 1 \right) = 3\), suy ra \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } g\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( {\sqrt {{x^2} + 2x} - x} \right) = 3\).

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {\sqrt {{x^2} + 2x} - x} \right) = + \infty \) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right) = 2\), suy ra \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } g\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f\left( {\sqrt {{x^2} + 2x} - x} \right) = 2\).

Vậy đồ thị hàm số \(g\left( x \right)\) có \(2\) đường tiệm cận ngang \(y = 2\) và \(y = 3\). Suy ra \(a = 2,\,b = 3\).

Suy ra \(S = a - 100b = - 298\).