a) S, b) Đ, c) Đ, d) Đ

a) Hàm số \(f\left( x \right)\)đồng biến trên từng khoảng \(\left( { - \infty ; - 1} \right)\) và \(\left( {3; + \infty } \right)\).

b) Điểm cực đại của đồ thị hàm số \(f\left( x \right)\) là \(\left( { - 1;0} \right)\)và điểm cực tiểu của đồ thị hàm số \(f\left( x \right)\) là \(\left( {3;8} \right)\).

c) Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy \(x = 1\) là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số, \(y = x + 3\) là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.

Đồ thị hàm số đi qua các điểm \(\left( {3;8} \right),\left( { - 1;0} \right),\left( {0; - 1} \right)\).

Ta thấy hàm số \(y = f\left( x \right) = \frac{{{x^2} + 2x + 1}}\) có  \(x = 1\) là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số, \(y = x + 3\) là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số và đồ thị hàm số đi qua các điểm \(\left( {3;8} \right),\left( { - 1;0} \right),\left( {0; - 1} \right)\).

Vậy đồ thị hàm số trên là của hàm số \(y = f\left( x \right) = \frac{{{x^2} + 2x + 1}}\).

d) Đồ thị hàm số\(f\left( x \right)\)ở hình câu c là của hàm số \(y = f\left( x \right) = \frac{{{x^2} + 2x + 1}} = x + 3 + \frac{4}\) ( C )

Có \(I\left( {1;4} \right)\)là giao điểm của hai đường tiệm cận.

Gọi \(M\left( {x;y} \right) \in \left( C \right)\). Khi đó \(\overrightarrow {IM} = \left( {x - 1;y - 4} \right)\), bình phương khoảng cách IM:

\(\begin{array}{l}I{M^2} = {\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 4} \right)^2}\\I{M^2} = {\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {x + 3 + \frac{4} - 4} \right)^2}\end{array}\)

\(\begin{array}{l}I{M^2} = {\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {x - 1 + \frac{4}} \right)^2}\\I{M^2} = {\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {x - 1} \right)^2} + 8 + {\left( {\frac{4}} \right)^2}\end{array}\)

\[I{M^2} = 2{\left( {x - 1} \right)^2} + \frac{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} + 8\]

Theo bất đẳng thức Cauchy (AM – GM)

\[\begin{array}{l}I{M^2} \ge 2\sqrt {32} + 8 = 8\sqrt 2 + 8\\IM \ge \sqrt {8\sqrt 2 + 8} \end{array}\]

Dấu xảy ra khi \[2{\left( {x - 1} \right)^2} = \frac{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}\]\[ \Leftrightarrow {\left( {x - 1} \right)^4} = 8\]\[ \Leftrightarrow x = \pm \sqrt {2\sqrt 2 } + 1\].

Điểm M trên đồ thị hàm số \(f\left( x \right)\) có khoảng cách đến I là nhỏ nhất \[Min\,IM = \sqrt {8\sqrt 2 + 8} \](với I là giao điểm của hai tiệm cận) với hoành độ dương là\(\sqrt {2\sqrt 2 } + 1\).