Để giải bài toán này, chúng ta cần đầu tiên vẽ hình tam giác vuông ABC và xác định các điểm theo yêu cầu.

### a) Tứ giác AHMN là hình gì? Vì sao?

1. **Vẽ tam giác ABC:**
- Đặt A tại điểm (0, 0).
- Điểm B nằm trên đường thẳng AB, tại (0, 3) vì AB = 3 cm.
- Điểm C nằm trên đường thẳng AC, tại (4, 0) vì AC = 4 cm.

2. **Xác định điểm M - trung điểm của BC:**
- Toạ độ của B là (0, 3) và toạ độ của C là (4, 0).
- Toạ độ của M là:
\[
M = \left( \frac{0 + 4}{2}, \frac{3 + 0}{2} \right) = \left( 2, \frac{3}{2} \right)
\]

3. **Kẻ MH vuông góc với AC tại H:**
- AC là trục x (giá trị y = 0), vì thế H sẽ là điểm có toạ độ (2, 0).

4. **Kẻ MN vuông góc với AB tại N:**
- AB là trục y (giá trị x = 0), vì vậy N sẽ có toạ độ (0, 1.5).

5. **Xét tứ giác AHMN:**
- A (0, 0)
- H (2, 0)
- M (2, 1.5)
- N (0, 1.5)

Trong tứ giác AHMN, ta thấy:
- AH vuông góc với HM.
- AN vuông góc với MN.
- Đồng thời, AH và AN nằm trên hai trục khác nhau (trục y và trục x).

Tứ giác AHMN là một tứ giác hình chữ nhật vì hai cặp cạnh đối diện song song và mỗi cặp đều vuông góc với nhau.

### b) Tính độ dài đoạn thẳng NH:

1. **Toạ độ của H và N:**
- H = (2, 0)
- N = (0, 1.5)

2. **Sử dụng công thức tính độ dài đoạn thẳng:**
\[
NH = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}
\]
Thay tọa độ H và N vào công thức:
\[
NH = \sqrt{(0 - 2)^2 + (1.5 - 0)^2} = \sqrt{(-2)^2 + (1.5)^2} = \sqrt{4 + 2.25} = \sqrt{6.25} = 2.5 \text{ cm}
\]

**Kết luận:**
a) Tứ giác AHMN là hình chữ nhật.
b) Độ dài đoạn thẳng NH là 2.5 cm.