Để giải bài toán, ta sẽ sử dụng một số định lý và công thức trong hình học:

### a) Tính độ dài đoạn thẳng \( BD \):
Áp dụng định lý phân giác trong tam giác, ta có:

\[
\frac{AB}{AC} = \frac{BD}{DC}
\]

### Các thông số:
- \( AB = 12 \) cm
- \( AC = 20 \) cm
- \( BC = 28 \) cm

Ký hiệu độ dài đoạn \( BD = x \) và \( DC = y \). Theo định lý phân giác, ta có:

\[
\frac{12}{20} = \frac{x}{y}
\]

Và từ \( BD + DC = BC \), ta có:

\[
x + y = 28
\]

Thay \( y \) vào phương trình phân giác:

\[
\frac{12}{20} = \frac{x}{28 - x}
\]

Giải hệ phương trình này:

1. \( 12(28 - x) = 20x \)
2. \( 336 - 12x = 20x \)
3. \( 336 = 32x \)
4. \( x = \frac{336}{32} = 10.5 \) cm (do đó \( BD = 10.5 \) cm)

### b) Tính độ dài đoạn thẳng \( DC \):
Sử dụng \( x + y = 28 \):

\[
DC = 28 - BD = 28 - 10.5 = 17.5 \text{ cm}
\]

### c) Tính diện tích tam giác \( ABC \) và diện tích \( ABD \):
1. Tính diện tích \( S \) của tam giác \( ABC \) bằng công thức Heron:

\[
s = \frac{AB + AC + BC}{2} = \frac{12 + 20 + 28}{2} = 30
\]

\[
S_{ABC} = \sqrt{s(s - AB)(s - AC)(s - BC)} = \sqrt{30(30 - 12)(30 - 20)(30 - 28)} = \sqrt{30 \cdot 18 \cdot 10 \cdot 2} = \sqrt{1080} = 6\sqrt{30}
\]

2. Tính diện tích tam giác \( ABD \):
Áp dụng tỉ lệ từ chiều cao, ta có:

\[
S_{ABD} = S_{ABC} \cdot \frac{BD}{BC} = S_{ABC} \cdot \frac{10.5}{28}
\]

Giá trị cụ thể cho \( S_{ABD} \) sẽ cần giá trị cụ thể cho \( S_{ABC} \). Như vậy, chúng ta có:

- Khả năng tính diện tích theo yêu cầu:

- \( S_{ABD} = \frac{3}{8} S \)
- \( S_{ABD} = \frac{2}{5} S \)

Giả sử \( S = S_{ABC} \), thử nghiệm với các lựa chọn sẽ cho ra kết quả phù hợp.

Tóm lại:
- \( BD = 10.5 \text{ cm} \)
- \( DC = 17.5 \text{ cm} \)
- Các lựa chọn cho diện tích sẽ phụ thuộc vào giá trị cụ thể của \( S_{ABC} \) mà bạn đã tính được.