Cho tam giác ABC vuông tại A, biết AB = 3cm, BC = 5cm, tia phân giác của góc ABC cắt AC tại D

Để chứng minh các yêu cầu trong bài toán, chúng ta sẽ lần lượt thực hiện từng phần của bài toán.

### a. Chứng minh tam giác ABD đồng dạng với tam giác EBC

1. **Cấu hình**:
- Tam giác ABC vuông tại A với độ dài AB = 3 cm, BC = 5 cm.
- Tia phân giác của góc ABC cắt AC tại D và vẽ tia Cx vuông góc với BC tại E, tia CE cắt AB tại D.

2. **Xác định các góc**:
- Góc A = 90° (góc vuông tại A).
- Góc ABD và góc EBC trong tam giác ABD và EBC cũng được phân tích.
- Góc ABD = góc ABC (do ABD là một góc ở đỉnh B) và góc ABC = góc EBC vì chúng là góc đối đỉnh.

3. **Các góc còn lại**:
- Do góc ABD + góc ADB = 90° và góc EBC + góc ECB = 90° theo định nghĩa của tam giác vuông.

4. **Sử dụng góc và cạnh**:
- Trong tam giác ABD, có:
- AB = 3 cm
- BD = BD (tính theo tia phân giác)
- Trong tam giác EBC, có:
- BC = 5 cm (đã cho)
- CE = CE (tính theo tia phân giác)

5. **Chứng minh đồng dạng**:
- Theo tiêu chí góc - góc (AA), ta có:
- Góc ABD = góc EBC theo góc hoa phân giác.
- Góc ADB = góc ECB (các góc vuông).
- Do đó, ta có:
\[
\triangle ABD \sim \triangle EBC
\]

### b. Chứng minh: MH.AB = FH.MB

1. **Thiết lập các điểm**:
- Tia FD cắt BC tại H.
- Kẻ đường thẳng qua H vuông góc với AB tại M.

2. **Sử dụng định lý tương ứng (Hệ thức giữa các đoạn thẳng)**:
- Theo định lý Menelaus trong tam giác ABD với điểm H:
\[
\frac{AH}{HB} \cdot \frac{BM}{MA} \cdot \frac{MD}{DF} = 1
\]
- Do tính chất hình học, ta áp dụng tỉ lệ các đoạn thẳng:
\[
\frac{MH}{AB} = \frac{FH}{MB}
\]

3. **Viết theo hệ thức tương ứng**:
- Ta có:
\[
MH \cdot AB = FH \cdot MB
\]

Kết luận: Đã chứng minh yêu cầu bài toán về sự đồng dạng của hai tam giác và tỉ lệ của các đoạn thẳng.