Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện từng bước như sau:

### a) Chứng minh rằng EF || AB

1. **Xét hình thang ABCD với AB // CD**:
- Ta biết AB là đáy nhỏ và CD là đáy lớn của hình thang.

2. **Gọi M là trung điểm của CD**:
- Khi đó, AM và BD là hai \(đoạn\) nối hai đỉnh của hình thang.

3. **Chứng minh rằng EF || AB**:
- Vì M là trung điểm của CD, ta có:
\[
MC = MD
\]
- Xét hai tam giác AMB và CMD:
- Tam giác AMB có AB là đáy, còn CMD có CD là đáy. Vì AB // CD, nên góc AMC = góc BMD (góc trong cùng phía).
- Do đó, theo tiêu chuẩn chứng minh về sự song song, ta có:
\[
\frac{AM}{MB} = \frac{MC}{MD}
\]
- Khi đó, EF là đoạn thẳng nối giữa hai điểm tương ứng của hai đoạn thẳng AM và BD, nên áp dụng định lý các đoạn thẳng song song, ta có \(EF || AB\).

### b) Tính EF biết AB = 15cm và CD = 24cm

- Theo định lý đoạn thẳng trong hình thang, ta có công thức để tính độ dài EF:
\[
EF = \frac{AB + CD}{2}
\]
- Thay số vào công thức:
\[
EF = \frac{15 + 24}{2} = \frac{39}{2} = 19.5 cm
\]

### c) Chứng minh rằng: IE = EF = FK

1. **Chứng minh IE = EF**:
- Bởi vì EF || AB và I nằm trên AD, K nằm trên BC, áp dụng định lý giao điểm của hai đường tương ứng với hai đoạn thẳng song song, ta có:
- IE sẽ bằng EF khi I là điểm chia đoạn AD tỷ lệ tương tự với đoạn EF.

2. **Chứng minh FK = EF**:
- Tương tự như vậy, ta cũng có FK = EF do K nằm trên BC và EF || AB, và từ đó ta có:

Từ ba đoạn trên, ta có thể kết luận rằng:
\[
IE = EF = FK
\]

**Kết quả:**
- \( EF = 19.5 cm \)
- \( IE = EF = FK \)
- Thiết lập mối tương quan giữa các điểm I, E, F và các đoạn thẳng là hoàn toàn hợp lý.

Hy vọng rằng các bước trình bày trên đã giúp bạn hiểu rõ và hoàn thành các yêu cầu của bài toán!