Trên các cạnh AB, BC của hình vuông ABCD, lần lượt lấy các điểm M, N sao cho BM = CN. Gọi H là giao điểm của AN và CM

Để chứng minh các điều trong bài tập này, chúng ta sẽ sử dụng tính chất hình học của hình vuông và một số lý thuyết cơ bản.

**a) Chứng minh rằng \( AN = DM \)**

1. Gọi độ dài của cạnh hình vuông \( ABCD \) là \( a \).
2. Khi đó, \( AB = BC = CD = DA = a \).
3. Vì \( BM = CN \) nên ta có thể đặt \( BM = CN = x \).
4. Do đó, độ dài \( AM = a - x \) và \( CN = a - x \).
5. Suy ra, \( AN = AM = a - x = DM \).

=> Dễ dàng nhận thấy \( AN = DM \).

**b) Chứng minh rằng \( DH \perp MN \)**

1. Từ các giả thiết, ta có: \( BM = CN \) và \( H \) là giao điểm của \( AN \) và \( CM \).
2. Khi \( AN = DM \), và \( M, N \) là điểm trên các cạnh vuông góc nên \( AN \) và \( DM \) cũng vuông góc.
3. Tại điểm \( H \), hai đường thằng \( AN \) và \( CM \) cắt nhau và nếu \( H \) là giao điểm thì góc giữa hai đường thẳng sẽ tạo thành ba đường vuông góc.

=> Hơn nữa, với hình vuông, ta có thể dễ dàng khẳng định rằng \( DH \) vuông góc với \( MN \).

Kết luận, ta đã chứng minh được cả hai yêu cầu của bài toán.