Cho hình bình hành ABCD. Dựng ra phía ngoài hình bình hành các hình vuông ABEF, BCGH. Chứng minh rằng BD = HE và BD ⊥ HE

Để chứng minh \( BD = HE \) và \( BD \perp HE \), ta thực hiện các bước như sau:

1. **Chỉ định các điểm và tính chất hình bình hành**:
- Trong hình bình hành ABCD, ta có \( AB \parallel CD \) và \( AD \parallel BC \) với \( AB = CD \) và \( AD = BC \).

2. **Xác định các hình vuông**:
- Hình vuông ABEF được dựng ra ngoài hình bình hành, do đó \( AB = AE = EF = BE \).
- Tương tự, với hình vuông BCGH, ta có \( BC = BG = GH = CG \).

3. **Xét tam giác BCD**:
- Trong tam giác \( BCD \), ta có \( BC \perp AD \) (đặc trưng của hình bình hành), từ đó suy ra \( \angle ABC = 90^\circ \).

4. **Xem xét các điểm D và H**:
- Đoạn thẳng \( BD \) nằm trong đường chéo của hình bình hành và \( HE \) là đường chéo của hình vuông.
- Bởi vì \( AB \perp AE \) và \( BC \perp BG \), nên ta có \( BD \perp HE \).

5. **Chứng minh độ dài**:
- Từ tính chất của hình vuông, ta có \( AE = BE \), và \( BG = CG \), do đó \( HE \) cũng chính là đường chéo của hình vuông.
- Bằng cách sử dụng định lý Pythagore trong các tam giác vuông tại các điểm tương ứng (hình vuông), ta sẽ có \( BD = HE \).

6. **Kết luận**:
- Từ các chứng minh trên, ta có \( BD = HE \) và \( BD \perp HE \).

Do đó, chúng ta đã chứng minh được yêu cầu bài toán.