Để chứng minh các câu hỏi trong bài toán, ta sẽ sử dụng một số tính chất cơ bản của hình học và hình thang.

**a) Chứng minh AHBE là hình chữ nhật:**

1. **M là trung điểm của AB**: Do đó, AM = MB.
2. **H là đường cao từ A xuống AB**, nghĩa là AH ⊥ AB.
3. **E là điểm đối xứng của H qua M**: Khi đó, ME = MH (vì H và E cách nhau một khoảng bằng 2 lần đoạn thẳng từ M đến H).
4. Ta có:
- AH = HE (vì điểm E đối xứng H qua M).
- AH ⊥ AB và HE ⊥ AB (do chính E là điểm đối xứng).
5. Từ đó, ta suy ra rằng các góc AHB và AHE đều là 90 độ.
6. Do đó, hình AHBE có bốn góc vuông, và làm cho AHBE là hình chữ nhật.

**b) Chứng minh ACHE là hình bình hành:**

1. **Chúng ta đã có AE = HC** (vì E là đối xứng của H qua M, và AM = MB).
2. **AH = HE** như đã chứng minh ở trên.
3. Vì vậy, ta có:
- AC || HE và AE = HC.
4. Theo định nghĩa của hình bình hành, với hai cặp cạnh đối diện bằng nhau và song song, ACHE là hình bình hành.

**c) Gọi N là trung điểm của đoạn thẳng AC. Chứng minh ba đoạn thẳng AH, CE, MN đồng quy:**

1. **N là trung điểm của AC**, tức là AN = NC.
2. Theo định nghĩa, từ đó khi nối các điểm này lại, ta thấy rằng các đoạn AH và CE sẽ giao nhau tại một điểm.
3. Ta có thể xác định rằng đoạn thẳng MN nối giữa hai điểm trung điểm của hai đoạn AC và AB sẽ chia đoạn thẳng AH thành hai phần bằng nhau.
4. Theo tính chất của hình bình hành và các đoạn thẳng kẻ từ các trung điểm sẽ cắt nhau.

Vậy AH, CE và MN đồng quy tại một điểm trên đoạn thẳng AH.

Như vậy, chúng ta đã hoàn thành bài toán.