Tìm số tự nhiên x biết

### Câu 1:
Ta có phương trình:

\[
2^x + 2^{x+1} + 2^{x+2} + ... + 2^{x+2020} = 2^{2023} - 4.
\]

Ta nhận thấy rằng biểu thức bên trái có thể phân tích như sau:

\[
2^x (1 + 2 + 2^2 + ... + 2^{2020}).
\]

Công thức tổng của cấp số nhân là:

\[
1 + 2 + 2^2 + \ldots + 2^n = \frac{2^{n+1} - 1}{2 - 1} = 2^{n+1} - 1.
\]

Áp dụng công thức này cho \( n = 2020 \):

\[
1 + 2 + 2^2 + \ldots + 2^{2020} = 2^{2021} - 1.
\]

Vậy biểu thức bên trái trở thành:

\[
2^x (2^{2021} - 1).
\]

Do đó, ta có:

\[
2^x (2^{2021} - 1) = 2^{2023} - 4.
\]

Phân tích \( 2^{2023} - 4 \):

\[
2^{2023} - 4 = 2^{2023} - 2^2 = 2^2 (2^{2021} - 1) = 4 (2^{2021} - 1).
\]

Bây giờ, ta đặt lại phương trình:

\[
2^x (2^{2021} - 1) = 4 (2^{2021} - 1).
\]

Nếu \( 2^{2021} - 1 \neq 0 \), thì cả hai bên có thể chia cho \( 2^{2021} - 1 \):

\[
2^x = 4.
\]

Từ đó dễ dàng suy ra được:

\[
x = 2.
\]

### Câu 2:
Ta cần giải bất phương trình:

\[
(x^2 + 2019)(x - 3)(10 - x) > 0.
\]

Đầu tiên, chúng ta cần tìm nghiệm của các yếu tố để xác định các khoảng giá trị của \( x \).

1. **Nghiệm của \( x - 3 = 0 \)**:

\( x = 3 \)

2. **Nghiệm của \( 10 - x = 0 \)**:

\( x = 10 \)

3. **Nghiệm của \( x^2 + 2019 = 0 \)**:

Phương trình \( x^2 + 2019 = 0 \) không có nghiệm thực vì \( x^2 + 2019 > 0 \) với mọi số thực \( x \).

Vì vậy, các giá trị quan trọng cho việc phân tích dấu của đa thức là \( x = 3 \) và \( x = 10 \).

Bây giờ ta chia số trục thành các khoảng và kiểm tra dấu của sản phẩm:

- **Khoảng \( (-\infty, 3) \)**: Chọn \( x = 0 \):

\[
(0^2 + 2019)(0 - 3)(10 - 0) = (2019)(-3)(10) < 0.
\]

- **Khoảng \( (3, 10) \)**: Chọn \( x = 5 \):

\[
(5^2 + 2019)(5 - 3)(10 - 5) = (25 + 2019)(2)(5) > 0.
\]

- **Khoảng \( (10, +\infty) \)**: Chọn \( x = 11 \):

\[
(11^2 + 2019)(11 - 3)(10 - 11) = (121 + 2019)(8)(-1) < 0.
\]

Từ đó, bất phương trình thỏa mãn trong khoảng \( (3, 10) \).

Cuối cùng, tính tổng tất cả các giá trị \( x \) trong khoảng này (là các số nguyên):

Các số nguyên trong khoảng \( (3, 10) \) là: 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Tổng của các số này là:

\[
4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = 39.
\]

Vậy kết quả cuối cùng:

**Câu 1:** \( x = 2 \)
**Câu 2:** Tổng tất cả các giá trị \( x \) thỏa mãn là \( 39 \).