Để tìm các số nguyên \( x \) và \( y \) thỏa mãn phương trình \((x-y)^2(y-3) = -4\), đầu tiên ta nhận thấy rằng biểu thức bên trái \((x-y)^2(y-3)\) là tích của một bình phương và một hạng tử. Bình phương \((x-y)^2\) là không âm (lớn hơn hoặc bằng 0) cho mọi giá trị của \( x \) và \( y \).

Điều này có nghĩa là tích này chỉ có thể bằng -4 khi \( y - 3 < 0 \), tức là \( y < 3 \).

Bây giờ thông qua việc phân tích, ta có thể viết lại phương trình thành:
\[
(y - 3) = -\frac{4}{(x - y)^2}
\]
Khi đó, ta có điều kiện:
\[
y - 3 \text{ là số âm}.
\]

Điều này có nghĩa là \( y < 3 \). Khi \( y < 3 \), \( y - 3 \) là một số âm. Để phương trình có nghĩa, \((x - y)^2\) phải dương, điều này dẫn đến \((x - y)^2 = 1, 2, 3, \ldots\).

Ta sẽ thử các giá trị của \((x - y)^2\):

1. Nếu \((x - y)^2 = 1\):
\[
y - 3 = -4 \Rightarrow y = -1 \Rightarrow (x - y)^2 = 1 \Rightarrow x - y = 1 \text{ hoặc } -1 \Rightarrow x = 0 \text{ hoặc } -2.
\]

Vậy ta có các cặp \((0, -1)\) và \((-2, -1)\).

2. Nếu \((x - y)^2 = 4\):
\[
y - 3 = -1 \Rightarrow y = 2 \Rightarrow (x - y)^2 = 4 \Rightarrow x - y = 2 \text{ hoặc } -2 \Rightarrow x = 4 \text{ hoặc } 0.
\]

Vậy ta có các cặp \((4, 2)\) và \((0, 2)\).

3. Nếu \((x - y)^2 = 9\):
\[
y - 3 = -\frac{4}{9} \text{ (không cho ra y nguyên)}.
\]

Tiếp tục với giá trị khác, ta chỉ có thể thông qua \(4\) thành \(9\) nhưng nó không cho ra \(y\) nguyên. Duy chỉ chọn sau ta tự sử dụng phần đó để kết thúc việc tìm ngày kĩ hơn.

Dưới đây là các cặp số nguyên cho \( (x,y) \):

- \( (0, -1) \)
- \( (-2, -1) \)
- \( (4, 2) \)
- \( (0, 2) \)

Như vậy, các cặp số nguyên \( (x, y) \) thỏa mãn phương trình là:
- \( (0, -1) \)
- \( (-2, -1) \)
- \( (4, 2) \)
- \( (0, 2) \)

Nếu cần mở rộng thêm thì cho nó thoáng ra những giá trị hơn nhé vậy!