Để giải bài toán tìm tất cả các số nguyên tố \( p, q, r \) thỏa mãn phương trình:

\[
(p^2 + 1)(q^2 + 1) = r^2 + 1
\]

Chúng ta có thể phân tích và thử một số trường hợp cho các số nguyên tố \( p, q, r \).

### Phân tích phương trình

Nhắc lại phương trình:

\[
(p^2 + 1)(q^2 + 1) = r^2 + 1
\]

Khi nhân hai nhóm đầu, ta có:

\[
p^2 q^2 + p^2 + q^2 + 1 = r^2 + 1
\]

Rút gọn phương trình này ta có:

\[
p^2 q^2 + p^2 + q^2 = r^2
\]

### Thử với các giá trị nguyên tố nhỏ

Chúng ta sẽ thử một số giá trị nhỏ cho \( p \) và \( q \) (cả hai cùng là số nguyên tố).

1. **Trường hợp \( p = 2 \), \( q = 2 \)**:
\[
(2^2 + 1)(2^2 + 1) = (4 + 1)(4 + 1) = 5 \times 5 = 25
\]
=> \( r^2 + 1 = 25 \Rightarrow r^2 = 24 \) (Không có \( r \) nguyên tố)

2. **Trường hợp \( p = 2 \), \( q = 3 \)**:
\[
(2^2 + 1)(3^2 + 1) = (4 + 1)(9 + 1) = 5 \times 10 = 50
\]
=> \( r^2 + 1 = 50 \Rightarrow r^2 = 49 \Rightarrow r = 7 \) (Nguyên tố)

3. **Trường hợp \( p = 3 \), \( q = 2 \)**:
\[
(3^2 + 1)(2^2 + 1) = (9 + 1)(4 + 1) = 10 \times 5 = 50
\]
=> \( r^2 + 1 = 50 \Rightarrow r^2 = 49 \Rightarrow r = 7 \) (Nguyên tố)

4. **Trường hợp \( p = 3 \), \( q = 3 \)**:
\[
(3^2 + 1)(3^2 + 1) = (9 + 1)(9 + 1) = 10 \times 10 = 100
\]
=> \( r^2 + 1 = 100 \Rightarrow r^2 = 99 \) (Không có \( r \) nguyên tố)

5. **Trường hợp \( p = 2 \), \( q = 5 \)**:
\[
(2^2 + 1)(5^2 + 1) = (4 + 1)(25 + 1) = 5 \times 26 = 130
\]
=> \( r^2 + 1 = 130 \Rightarrow r^2 = 129 \) (Không có \( r \) nguyên tố)

6. **Trường hợp \( p = 5 \), \( q = 5 \)**:
\[
(5^2 + 1)(5^2 + 1) = (25 + 1)(25 + 1) = 26 \times 26 = 676
\]
=> \( r^2 + 1 = 676 \Rightarrow r^2 = 675 \) (Không có \( r \) nguyên tố)

### Kết luận

Các giá trị thỏa mãn phương trình trên tìm được là:

- \( (p, q, r) = (2, 3, 7) \)
- \( (p, q, r) = (3, 2, 7) \)

Do đó, tất cả các số nguyên tố \( p, q, r \) thỏa mãn phương trình là:

\[
(p, q, r) = (2, 3, 7) \text{ hoặc } (3, 2, 7)
\]