Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC). Gọi I là trung điểm của cạnh BC. Qua I vẽ IM vuông góc với AB tại M và IN vuông góc với AC tại N

Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện từng yêu cầu một cách tuần tự.

### a) Chứng minh tứ giác \(AMIN\) là hình chữ nhật.

Đầu tiên, chúng ta có tam giác vuông \(ABC\) tại \(A\) với \(AB < AC\). Điều này ngụ ý rằng \(I\) là trung điểm của cạnh \(BC\). Khi đó, \(IM\) vuông góc với \(AB\) và \(IN\) vuông góc với \(AC\).

- Từ định nghĩa, \(AM\) vuông góc với \(IM\) (vì \(M\) nằm trên đường vuông góc với \(AB\)).
- Tương tự, \(AN\) vuông góc với \(IN\) (vì \(N\) nằm trên đường vuông góc với \(AC\)).

Như vậy, \(AM\) và \(AN\) đều vuông góc với các cạnh của tam giác.

Vì tứ giác \(AMIN\) có 2 cặp cạnh vuông góc (cả \(AM\) với \(AN\) và \(IM\) với \(IN\)), do đó tứ giác \(AMIN\) là một hình chữ nhật.

### b) Chứng minh tứ giác \(AICD\) là hình thoi.

Chúng ta biết rằng \(D\) là điểm đối xứng của \(I\) qua \(N\). Để chứng minh tứ giác \(AICD\) là hình thoi, ta cần chứng minh hai cặp cạnh đối diện của tứ giác \(AICD\) bằng nhau.

1. **Chứng minh rằng \(AI = IC\)**:
\[
AI = \text{(độ dài)} \quad \text{(vì } I \text{ là trung điểm)}
\]
Từ hình vuông và tính chất đối xứng, ta có:
\[
AI = ID = IC
\]

2. **Chứng minh rằng \(AC = ID\)**:
Khi \(D\) là hình chiếu của \(I\) qua \(N\), nó tạo thành một đoạn thẳng vuông góc tại \(N\). Do đó, \(AD\) sẽ có cùng độ dài với \(AC\).

Vì vậy, cả \(AI\) và \(ID\) đều bằng nhau. Do đó, tứ giác \(AICD\) có hai cặp cạnh đối diện bằng nhau và do đó, nó là một hình thoi.

### c) Tính diện tích \(\Delta ABC\) với \(AC = 20 \: \text{cm}, BC = 25 \: \text{cm}\).

Để tính diện tích của tam giác vuông \(ABC\), ta sử dụng công thức diện tích của tam giác:
\[
S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AC
\]

Trong tam giác vuông, chúng ta có:
- \(BC^2 = AB^2 + AC^2\)

Gọi \(AB = a\) và biết rằng \(AC = 20\) cm và \(BC = 25\) cm, ta có:
\[
25^2 = a^2 + 20^2 \implies 625 = a^2 + 400 \implies a^2 = 225 \implies a = 15 \: \text{cm}
\]

Diện tích tam giác là:
\[
S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AC = \frac{1}{2} \cdot 15 \cdot 20 = 150 \: \text{cm}^2
\]

### Kết luận:
- **Trả lời (a)**: \(AMIN\) là hình chữ nhật.
- **Trả lời (b)**: \(AICD\) là hình thoi.
- **Trả lời (c)**: Diện tích \(\Delta ABC\) là \(150 \: \text{cm}^2\).