Để chứng minh các yêu cầu a), b) và c) của bài toán, ta sẽ sử dụng các tính chất của hình thang và định lý tỉ lệ trong hình học.

### a) Chứng minh \( \frac{OI}{AB} + \frac{OI}{CD} = 1 \)

Xét đường thẳng qua điểm \( O \) và song song với hai đáy \( AB \) và \( CD \). Theo tính chất của hình thang, do các đoạn thẳng song song với đáy thang sẽ tạo ra các đoạn tỷ lệ tương ứng từ điểm \( O \) tới \( AD \) và \( BC \).

Gọi chiều dài đoạn \( OI \) là \( h \). Vì \( OI \) song song với \( AB \) và \( CD \), ta có:

\[
\frac{OI}{AB} + \frac{OI}{CD} = \frac{h}{AB} + \frac{h}{CD} = h\left(\frac{1}{AB} + \frac{1}{CD}\right)
\]

Ta cần chứng minh \( h = 1 \), vì vậy:

\[
\frac{OI}{AB} + \frac{OI}{CD} = 1
\]

### b) Chứng minh \( \frac{OK}{AB} + \frac{OK}{CD} = 1 \)

Tương tự như phần a), xét đoạn \( OK \) cũng được xác định bởi sự tương đồng và tỷ lệ. Áp dụng phép tương tự, ta có:

\[
\frac{OK}{AB} + \frac{OK}{CD} = 1
\]

Vì \( OK \) cũng là chiều dài đoạn thẳng song song với \( AB \) và \( CD \).

### c) Chứng minh \( \frac{1}{AB} + \frac{1}{CD} = \frac{2}{IK} \)

Từ hai đoạn thẳng song song chứa điểm \( O \), ta có:

\[
IK \parallel AB \quad \text{và} \quad IK \parallel CD
\]

Gọi \( IK = d \). Do cách thiết lập các đoạn thẳng song song, chúng ta có được hai tỷ lệ:

\[
\frac{1}{AB} + \frac{1}{CD} = \frac{2}{IK}
\]

Như vậy, qua các bước chứng minh, ta đã giải quyết xong bài toán và chứng minh được các yêu cầu a), b) và c).