Để tìm số nguyên \( x \) sao cho \( x - 3 \) chia hết cho \( x - 5 \), ta có thể viết điều kiện này dưới dạng phương trình chia:

\[ x - 3 = k (x - 5) \]

với \( k \) là một số nguyên. Giải phương trình này, ta có:

\[ x - 3 = kx - 5k \]

Sắp xếp lại phương trình:

\[ x - kx = -5k + 3 \]

Từ đó, ta có:

\[ x(1 - k) = 5k - 3 \]

Giả sử \( 1 - k \neq 0 \), ta có thể chia cả hai vế cho \( 1 - k \):

\[ x = \frac{5k - 3}{1 - k} \]

Để \( x \) là số nguyên, \( 5k - 3 \) phải chia hết cho \( 1 - k \). Ta sẽ tìm các giá trị của \( k \) sao cho điều này xảy ra.

1. Với \( k = 1 \):
\[
x = \frac{5(1) - 3}{1 - 1} \quad \text{(không xác định)}
\]

2. Với \( k = 0 \):
\[
x = \frac{5(0) - 3}{1 - 0} = -3
\]

3. Với \( k = 2 \):
\[
x = \frac{5(2) - 3}{1 - 2} = \frac{10 - 3}{-1} = -7
\]

4. Với \( k = 3 \):
\[
x = \frac{5(3) - 3}{1 - 3} = \frac{15 - 3}{-2} = -6
\]

5. Với \( k = -1 \):
\[
x = \frac{5(-1) - 3}{1 - (-1)} = \frac{-5 - 3}{2} = -4
\]

6. Với \( k = -2 \):
\[
x = \frac{5(-2) - 3}{1 - (-2)} = \frac{-10 - 3}{3} = -\frac{13}{3} \quad \text{(không nguyên)}
\]

7. Nên ta có thể kiểm tra các giá trị nguyên khác cho \( k \).

Xem xét \( 5k - 3 \equiv 0 \mod (1 - k) \) có thể đưa ra nhiều số nguyên \( x \).

Một cách khác để tiếp cận bài toán là thay thế vào một số giá trị cho \( x \) và kiểm tra tính chia hết:

- Nếu \( x = 4 \), tức là \( x - 5 = -1 \), và \( x - 3 = 1 \) => 1 chia hết cho -1.

- Nếu \( x = 6 \), tức là \( x - 5 = 1 \), và \( x - 3 = 3 \) => 3 chia hết cho 1.

- Nếu \( x = 5 \), thì \( x - 3 = 2 \), và \( x - 5 = 0 \) (không được chia cho 0).

Vì vậy, các giá trị nguyên thỏa mãn điều kiện là:
\[ x = 4 \text{ hoặc } x = 6. \]

Tóm lại, các nghiệm nguyên của phương trình là: \( x = 4, 6 \).