Cho nửa đường tròn (O;R) đường kính AB kẻ hai tiếp tuyến Ax,By qua điểm M thuộc nửa đường tròn kẻ tiếp tuyến với nửa đường tròn (O) cắt Ax và By theo thứ tự tại C và D

Để giải các câu hỏi trên, ta sẽ sử dụng một số định lý trong hình học về nửa đường tròn và các tính chất của tiếp tuyến.

### Câu a: Chứng minh \(CD = AC + BD\)

1. **Xét hình vẽ**: Ta có nửa đường tròn với điểm \(M\) nằm bên trong (nằm trên nửa đường tròn), với các tiếp tuyến \(Ax\) và \(By\).
2. **Tính chất tiếp tuyến**: Do \(Ax\) là tiếp tuyến tại điểm \(A\) và \(By\) là tiếp tuyến tại điểm \(B\), ta có:
- \(MA \perp Ax\)
- \(MB \perp By\)
3. **Tam giác vuông**: Xem tam giác \(MAC\) và \(MBD\), chúng đều là các tam giác vuông, do đó:
- \(AC = MA \cdot \tan(\angle MAB)\)
- \(BD = MB \cdot \tan(\angle MBA)\)
4. **Sử dụng định nghĩa tiếp tuyến**:
Do tiếp tuyến từ một điểm đến nửa đường tròn có cùng chiều dài, \(MA = MB\).
5. **Kết luận**: Từ đó, chúng ta có:
\[
CD = AC + BD
\]

### Câu b: Chứng minh bốn điểm \(D, M, O, B\) cùng thuộc một đường tròn

1. **Xét ba điểm \(O, M, B\)**: Gọi \(O\) là tâm của nửa đường tròn và \(D\) là điểm thuộc cạnh \(Ax\).
2. **Tính chất của đường tròn**: Để chứng minh bốn điểm \(D, M, O, B\) cùng thuộc một đường tròn, ta cần chứng minh rằng góc \(MDB\) và góc \(DMB\) có kề nhau tại arc chứa điểm \(O\).
3. **Xem xét góc**: Do \(MB\) là tiếp tuyến và \(AB\) là đường kính, từ tính chất liên quan giữa góc ở tiếp tuyến và cạnh cung chứa, ta có:
\[
\angle MBO + \angle MDO = 90^\circ
\]
4. **Kết luận**: Do đó \(D, M, O, B\) cùng nằm trên cùng một đường tròn.

### Câu c: Cho góc \(MBA = 30^\circ\). Tính diện tích tam giác \(AMB\) theo \(R\)

1. **Diện tích tam giác**: Diện tích tam giác \(AMB\) có thể tính bằng công thức:
\[
S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot h
\]
trong đó \(h\) là chiều cao hạ từ \(M\) xuống \(AB\).
2. **Chiều dài \(AB\)**: Vì \(AB\) là đường kính của đường tròn có bán kính \(R\), nên \(AB = 2R\).
3. **Góc trong tam giác**: Gọi \(h = AM \cdot \sin(30^\circ)\).
4. **Tính diện tích**:
\[
S = \frac{1}{2} \cdot (2R) \cdot (R \cdot \sin(30^\circ)) = R^2 \cdot \sin(30^\circ) = R^2 \cdot \frac{1}{2} = \frac{R^2}{2}
\]

Như vậy, diện tích của tam giác \(AMB\) theo \(R\) là:
\[
\frac{R^2}{2}
\]

Hy vọng lời giải trên đã giúp bạn hiểu rõ cách giải quyết bài toán.