Để chứng minh bài toán này, chúng ta sẽ làm từng phần theo yêu cầu:

### a) Chứng minh MN // BC.
Gọi \( M \) là trung điểm của \( AB \) và \( N \) là trung điểm của \( AC \).

Áp dụng định nghĩa của trung điểm:
\[
AM = MB \quad \text{và} \quad AN = NC
\]
Vì \( M \) và \( N \) là trung điểm, ta có:
\[
\overrightarrow{AM} = \frac{1}{2} \overrightarrow{AB} \quad \text{và} \quad \overrightarrow{AN} = \frac{1}{2} \overrightarrow{AC}
\]
Do đó, ta có thể viết:
\[
\overrightarrow{MN} = \overrightarrow{AN} - \overrightarrow{AM} = \frac{1}{2} \overrightarrow{AC} - \frac{1}{2} \overrightarrow{AB} = \frac{1}{2} (\overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB})
\]
Từ đó, ta thấy rằng:
\[
\overrightarrow{MN} \parallel \overrightarrow{BC}
\]
Bởi vì sự ngang nhau của vectơ này chứng minh rằng \( MN \) // \( BC \).

### b) Tứ giác A/CK là hình gì?
Tia phân giác của góc \( A \) cắt \( BC \) tại điểm \( I \). Ta có \( N \) là trung điểm của \( IK \) nên \( K \) sẽ nằm trên đường thẳng \( AI \). Suy ra, \( K \) sẽ luôn nằm trên đoạn thẳng nối \( I \) và \( C \).

Tứ giác \( A/CK \) tạo thành một tứ giác với hai đỉnh \( A \) và \( C \) là hai đỉnh khác nhau tại lớp ngoài, còn \( I \) và \( K \) nằm trên đường phân giác. Do đó tứ giác \( AKIC \) là một tứ giác có khả năng là hình chữ nhật hoặc hình thang với tính đối xứng của nó quanh tia phân giác \( AI \).

### c) Chứng minh IB.NC = IC.MB.
Điều này có thể được chứng minh thông qua định lý phân giác:
Theo định lý phân giác của góc \( A \), ta có:
\[
\frac{IB}{IC} = \frac{AB}{AC}
\]
Mà \( MB = \frac{1}{2} AB \) và \( NC = \frac{1}{2} AC \), ta thay vào:
\[
IB.NC = IC.MB
\]
Hay:
\[
IB \cdot \frac{1}{2} AC = IC \cdot \frac{1}{2} AB
\]
Bằng cách nhân chéo thì ta có:
\[
IB \cdot AC = IC \cdot AB
\]
Và đây là điều cần chứng minh, cho thấy rằng \( IB.NC = IC.MB \).

Vậy các chứng minh đã được thực hiện.