Để chứng minh rằng \( 4n^3 + 2n - 1 \) không thể là một số chính phương đối với mọi \( n \in \mathbb{N} \), ta sẽ làm như sau:

1. **Xem xét cấu trúc của \( 4n^3 + 2n - 1 \)**:
Cách dễ nhất là tìm giá trị của biểu thức với một số giá trị của \( n \):

- Khi \( n = 1 \):
\[
4(1)^3 + 2(1) - 1 = 4 + 2 - 1 = 5 \quad (không phải là số chính phương)
\]

- Khi \( n = 2 \):
\[
4(2)^3 + 2(2) - 1 = 32 + 4 - 1 = 35 \quad (không phải là số chính phương)
\]

- Khi \( n = 3 \):
\[
4(3)^3 + 2(3) - 1 = 108 + 6 - 1 = 113 \quad (không phải là số chính phương)
\]

2. **Xét tính chất số dư**:
Ta sẽ tính \( 4n^3 + 2n - 1 \) theo modulo 4:
- Với \( n \equiv 0 \mod 4 \): \( 4n^3 \equiv 0, 2n \equiv 0 \Rightarrow 4n^3 + 2n - 1 \equiv -1 \equiv 3 \mod 4 \)
- Với \( n \equiv 1 \mod 4 \): \( 4n^3 \equiv 0, 2n \equiv 2 \Rightarrow 4n^3 + 2n - 1 \equiv 1 \mod 4 \)
- Với \( n \equiv 2 \mod 4 \): \( 4n^3 \equiv 0, 2n \equiv 0 \Rightarrow 4n^3 + 2n - 1 \equiv -1 \equiv 3 \mod 4 \)
- Với \( n \equiv 3 \mod 4 \): \( 4n^3 \equiv 0, 2n \equiv 2 \Rightarrow 4n^3 + 2n - 1 \equiv 1 \mod 4 \)

Ta thấy rằng \( 4n^3 + 2n - 1 \equiv 1 \text{ hoặc } 3 \mod 4 \).

3. **Các số chính phương modulo 4**:
- Một số chính phương có thể có theo modulo 4 là: \( 0 \) hoặc \( 1 \).

Vậy \( 4n^3 + 2n - 1 \) không thể là số chính phương vì nó không đạt được giá trị \( 0 \) theo modulo 4. Kết luận rằng \( 4n^3 + 2n - 1 \) không phải là số chính phương với mọi \( n \in \mathbb{N} \).