Để giải bài toán này, ta sẽ thực hiện các bước xác định thiết diện và tính diện tích của thiết diện.

### Bước 1: Xác định tọa độ các đỉnh của hình chóp

Giả sử các đỉnh của hình vuông ABCD với O là tâm ở tọa độ như sau:
- A(1, 1, 0)
- B(1, -1, 0)
- C(-1, -1, 0)
- D(-1, 1, 0)
- O(0, 0, 0)
- S(0, 0, h) (h là chiều cao của hình chóp)

### Bước 2: Xác định điểm I là trung điểm của AO

Điểm I (trung điểm của AO) sẽ có tọa độ:
\[
I \left( \frac{1+0}{2}, \frac{1+0}{2}, \frac{0+h}{2} \right) = \left( \frac{1}{2}, \frac{1}{2}, \frac{h}{2} \right)
\]

### Bước 3: Xác định thiết diện của hình chóp tạo bởi mặt phẳng (α)

Mặt phẳng (α) đi qua điểm I và song song với mặt phẳng (SBD). Ta cần tìm phương trình của mặt phẳng (α).

Mặt phẳng (SBD) có thể được xác định qua ba điểm S, B, D. Phương trình mặt phẳng (SBD) có dạng:
\[
n \cdot (r - r_0) = 0
\]
với \(r_0\) là một điểm trong mặt phẳng, ví dụ điểm B và \(n\) là vector pháp tuyến của mặt phẳng (SBD).

### Bước 4: Tính diện tích thiết diện T

Khi mặt phẳng (α) cắt hình chóp, chúng ta sẽ có một thiết diện hình tam giác hoặc hình tứ giác. Để tính diện tích, ta cần xác định tọa độ của các đỉnh giao của thiết diện với các cạnh của hình chóp.

Mỗi cạnh BD, SA, AB, AD sẽ được tìm giao điểm với mặt phẳng (α) theo hướng dẫn sau:
1. Tính vector pháp tuyến của mặt phẳng (SBD).
2. Sử dụng tích vô hướng để tìm điểm giao với các đoạn thẳng.

Sau khi có tọa độ các điểm giao, có thể sử dụng công thức Heron hoặc công thức tính diện tích đa giác để tìm diện tích của thiết diện.

### Bước 5: Tính \( S^2 \)

Cuối cùng, sau khi xác định được diện tích \(S\) của thiết diện, ta sẽ tính \( S^2 \).

**Ví dụ:**
Giả sử qua quá trình tính toán, ta tìm ra được diện tích thiết diện là \(S = k\),
thì \(S^2 = k^2\).

Tiến hành thực hiện từng bước một cách tỉ mỉ và chính xác sẽ dẫn đến một kết quả cuối cùng cho diện tích thiết diện và giá trị của \( S^2 \).