Để chứng minh bất đẳng thức \(\frac{a^2}{b} + \frac{b^2}{c} + \frac{4c^2}{a} \geq a + 3b\) với điều kiện \(a, b, c > 0\), chúng ta sẽ áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz.

Chúng ta sẽ chứng minh ba phần riêng biệt trong bất đẳng thức:

\[
\frac{a^2}{b} + 4c^2 \left(\frac{1}{a}\right) \geq \frac{(a + 2c)^2}{b}
\]

Với \(x = a\), \(y = 2c\) và \(z = b\), bất đẳng thức Cauchy-Schwarz cho ta:

\[
\frac{a^2}{b} + 4c^2 \cdot \frac{1}{a} \geq \frac{(a + 2c)^2}{b}
\]

Để hoàn thành chứng minh, ta cần chứng minh:

\[
\frac{(a + 2c)^2}{b} + \frac{b^2}{c} \geq a + 3b
\]

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz một lần nữa tại đây:

\[
(x+y+z)^{2} \leq 3(x^2+y^2+z^2)
\]

Tính cho \(x=a\), \(y=2c\), \(z=b\):

\[
(a + 2c + b)^{2} \leq 3\left(a^2 + (2c)^2 + b^2\right)
\]

Từ đây, ta có:

\[
a^2 + 4c^2 + b^2 = (a + b + 2c)^2
\]

Chúng ta chỉ cần chứng minh rằng:

\[
(a + 2c)^{2} \geq a + 3b
\]

Ta sẽ thực hiện các bước tiếp theo để hoàn tất chứng minh và đưa ra bất đẳng thức mà ta đã bắt đầu:

\[
\frac{a^2}{b} + \frac{b^2}{c} + \frac{4c^2}{a} \geq a + 3b
\]

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM cho bốn số dương \(x = \frac{a^2}{b}\), \(y = \frac{b^2}{c}\), \(z = \frac{4c^2}{a}\):

\[
\frac{\frac{a^2}{b} + \frac{b^2}{c} + \frac{4c^2}{a}}{3} \geq \sqrt[3]{\frac{a^2}{b} \cdot \frac{b^2}{c} \cdot \frac{4c^2}{a}} = \sqrt[3]{\frac{4a \cdot b \cdot c}{abc}} = \sqrt[3]{4}
\]

Vì vậy, từ bất đẳng thức này, suy ra:

\[
\frac{1}{3}\left(\frac{a^2}{b} + \frac{b^2}{c} + 4\frac{c^2}{a}\right) \geq \frac{1}{3}\sqrt[3]{4} \cdot \frac{a + 3b}{a} \geq a + 3b
\]

Kết luận rằng bất đẳng thức đã cho là đúng. Do đó, ta xác nhận được điều này trên các điều kiện đã cho.