Để chứng minh rằng \( x^2 + y^2 \) không có ước nguyên tố dạng \( p = 4k + 3 \) cho các số nguyên dương \( x, y \) sao cho \( (x, y) = 1 \), ta sử dụng một số tính chất trong lý thuyết số.

1. **Tính chất của số nguyên tố**: Theo lý thuyết số, một số nguyên tố \( p \equiv 3 \ (\mathrm{mod} \ 4) \) không thể được viết dưới dạng tổng của hai bình phương. Điều này có nghĩa là nếu \( p \) là số nguyên tố dạng \( 4k + 3 \), thì không tồn tại các số nguyên \( a, b \) sao cho \( p = a^2 + b^2 \).

2. **Xét phép chia \( x \) và \( y \)**: Xét các số \( x \) và \( y \) theo các hình thức modulo 4:
- \( x \equiv 0 \ (\mathrm{mod} \ 4) \): \( x^2 \equiv 0 \ (\mathrm{mod} \ 4) \)
- \( x \equiv 1 \ (\mathrm{mod} \ 4) \): \( x^2 \equiv 1 \ (\mathrm{mod} \ 4) \)
- \( x \equiv 2 \ (\mathrm{mod} \ 4) \): \( x^2 \equiv 0 \ (\mathrm{mod} \ 4) \)
- \( x \equiv 3 \ (\mathrm{mod} \ 4) \): \( x^2 \equiv 1 \ (\mathrm{mod} \ 4) \)

Tương tự cho \( y \).

3. **Các khả năng khác nhau của \( x^2 + y^2 \mod 4 \)**:
- Nếu \( x \equiv 0 \) và \( y \equiv 0 \): \( x^2 + y^2 \equiv 0 + 0 \equiv 0 \ (\mathrm{mod} \ 4) \)
- Nếu \( x \equiv 0 \) và \( y \equiv 1 \): \( x^2 + y^2 \equiv 0 + 1 \equiv 1 \ (\mathrm{mod} \ 4) \)
- Nếu \( x \equiv 0 \) và \( y \equiv 2 \): \( x^2 + y^2 \equiv 0 + 0 \equiv 0 \ (\mathrm{mod} \ 4) \)
- Nếu \( x \equiv 0 \) và \( y \equiv 3 \): \( x^2 + y^2 \equiv 0 + 1 \equiv 1 \ (\mathrm{mod} \ 4) \)
- Nếu \( x \equiv 1 \) và \( y \equiv 1 \): \( x^2 + y^2 \equiv 1 + 1 \equiv 2 \ (\mathrm{mod} \ 4) \)
- Nếu \( x \equiv 1 \) và \( y \equiv 2 \): \( x^2 + y^2 \equiv 1 + 0 \equiv 1 \ (\mathrm{mod} \ 4) \)
- Nếu \( x \equiv 1 \) và \( y \equiv 3 \): \( x^2 + y^2 \equiv 1 + 1 \equiv 2 \ (\mathrm{mod} \ 4) \)
- Nếu \( x \equiv 2 \) và \( y \equiv 2 \): \( x^2 + y^2 \equiv 0 + 0 \equiv 0 \ (\mathrm{mod} \ 4) \)
- Nếu \( x \equiv 2 \) và \( y \equiv 3 \): \( x^2 + y^2 \equiv 0 + 1 \equiv 1 \ (\mathrm{mod} \ 4) \)
- Nếu \( x \equiv 3 \) và \( y \equiv 3 \): \( x^2 + y^2 \equiv 1 + 1 \equiv 2 \ (\mathrm{mod} \ 4) \)

4. **Kết luận**: Từ những phân tích trên, ta thấy rằng:
- \( x^2 + y^2 \equiv 0 \ (\mathrm{mod} \ 4) \)
- \( x^2 + y^2 \equiv 1 \ (\mathrm{mod} \ 4) \)
- \( x^2 + y^2 \equiv 2 \ (\mathrm{mod} \ 4) \)

Trong cả ba trường hợp này, không có trường hợp nào cho phép \( x^2 + y^2 \equiv 3 \ (\mathrm{mod} \ 4) \), tức là không thể có ước nguyên tố nào dạng \( p = 4k + 3 \) chia hết cho \( x^2 + y^2 \).

Vì vậy, từ đó ta có thể kết luận rằng \( x^2 + y^2 \) không có ước nguyên tố nào có dạng \( p = 4k + 3 \).