Cho tam giác ABC vuông tại A với AB < AC và H là đường cao từ A xuống cạnh BC. Đặt điểm M trên cạnh BC sao cho HM = HB. Gọi D là điểm đối xứng của A qua H và N là giao điểm của tia DM với cạnh AC. Chúng ta sẽ chứng minh và giải quyết các câu hỏi trong bài tập như sau:

### a) Chứng minh tứ giác ABDM là hình thoi

Để chứng minh tứ giác ABDM là hình thoi, chúng ta cần chứng minh rằng hai cặp cạnh đối của nó bằng nhau.

1. **Xét cạnh AB và AD:**
- D là điểm đối xứng của A qua H nên AH = DH.
- Mặt khác, theo định nghĩa đường cao, ta có AH vuông góc với BC.
- Ta lại có HM = HB và từ đó mà HM = HA (vì H là trung điểm của AM).
- Từ H tới B có độ dài bằng từ H tới M nên AB = AD.

2. **Xét cạnh BM và DM:**
- B có độ dài bằng với D vì D là đối xứng của A qua H mà H là trung điểm của đoạn AB.
- Từ đó, BM = AM và DM = AB.
- Khi kết hợp lại, ta có BD = AM mà BM = AM nên BM = DM.

Vậy ta có AB = AD và BM = DM, do đó tứ giác ABDM là hình thoi.

### b) Gọi I, K lần lượt là trung điểm của MC và MD. Tứ giác HKDB là hình gì?

Để chứng minh tứ giác HKDB là hình gì, chúng ta cần kiểm tra tính chất của tứ giác này.

1. **Xét HK:**
- HK là đoạn nối giữa hai trung điểm, do đó nó song song với BC (theo định lý trung bình).

2. **Xét DB:**
- D là đối xứng của A qua H, nên DB sẽ là đường chéo của hình thoi ABDM (từ câu a) và cắt H tại điểm H.

Do đó, HKDB sẽ là hình chữ nhật.

### c) Chứng minh góc IKH = 90 độ

Để chứng minh góc IKH = 90 độ, ta sử dụng tính chất của trung điểm và hình thoi:

1. **Chú ý đến hình thoi ABDM:**
- Tại H, góc AHB = 90 độ do AB vuông góc với AC.

2. **Xét tam giác MCD:**
- I và K là trung điểm, nên góc IKH cũng sẽ là đường vuông góc với HK.

Vậy nên, góc IKH = 90 độ.

### d) Tam giác ABC cần có thêm điều kiện gì để tứ giác HKIN là hình chữ nhật?

Để tứ giác HKIN là hình chữ nhật, điều kiện cần có là các cạnh HK và IN phải song song và tỉ lệ bằng nhau.

1. **Phân tích tứ giác HKIN:**
- HK và IN phải vuông góc với HI và KN.
- Điều này yêu cầu chiều dài HK và IN phải bằng nhau.
- Hơn nữa, góc HIB cũng cần phải bằng 90 độ.

Vậy điều kiện cần thiết cho tứ giác HKIN để trở thành hình chữ nhật chính là tam giác ABC phải là tam giác vuông đều có các cạnh vuông góc, tức là tỉ lệ cạnh phải bằng nhau.