Để chứng minh tứ giác ABDM là hình thoi, ta cần chứng minh hai cặp cạnh đối diện bằng nhau. Đầu tiên, ta có:

1. **Xét tứ giác ABDM:**
- Hãy chú ý rằng AABC vuông tại A, có AB và AC là các cạnh góc vuông.
- Bởi vì M được chọn sao cho HM = HB, nên ta có BM = HM và do đó BM = HB.
- Ta cũng có rằng D là điểm đối xứng với A qua H, điều này gợi ý rằng AD = AH.

2. **Chứng minh AD = BM:**
- Sử dụng tính chất đối xứng, từ H đến A là một đoạn thẳng, do đó HA = HD.
- Hơn nữa, M được chọn sao cho HM = HB, do đó BM = HB.
- Từ đó, ta có BD = AH = AD.

3. **Chứng minh AB = DM:**
- Cạnh AB là cạnh vuông góc với cạnh AC, trong khi cạnh DM nằm trên tia DM cắt AC tại N.
- Khi ta có M là điểm trên BC và D là điểm đối xứng của A qua H, góc ABD và góc DMB là góc vuông.
- Do đó, ta có AB = DM.

Khi đó tứ giác ABDM có hai cặp cạnh đối diện bằng nhau và vuông góc với nhau, nên sẽ là hình thoi.

### B) Tứ giác HKDB

Gọi K lần lượt là trung điểm của MC và MD. Khi đó, điểm K sẽ nằm giữa đoạn MC và MD, tạo thành tứ giác HKDB.

Để xem xét tứ giác HKDB có phải là hình gì không, ta cần:

1. **Tính chất của các cặp cạnh:**
- HK là một đoạn thẳng nối hai điểm H và K.
- Nếu M và D là tương ứng với các điểm nhất định của tứ giác HKDB và D là đối xứng với A, có thể xét đến các tính chất hình học liên quan đến trung điểm của cạnh.

### 4) Chứng minh IK & H = 90°

Để chứng minh rằng IK và HK vuông góc, ta cần kiểm tra góc giữa hai đoạn thẳng này. Khi D là đối xứng không chỉ với A mà còn với H, có thể khẳng định rằng góc IHK = 90° trong một số tình huống nhất định.

### C) Điều kiện để HKIN là hình chữ nhật

Để tứ giác HKIN trở thành hình chữ nhật, cần thỏa mãn hai điều kiện:

1. **Cần có các cạnh đối diện bằng nhau:** Điều này có thể kiểm soát thông qua đoạn thẳng HK và IN.
2. **Hai cặp cạnh phải vuông góc nhau:** Ăn khớp với điều kiện IK và HK vuông góc.

Khi ba điều kiện này đều được hội tụ, tứ giác HKIN sẽ trở thành hình chữ nhật. Điều kiện thêm có thể là các điểm K, H, N, I cần được đặt sao cho có vị trí cân bằng và thỏa mãn các điều kiện trên.

Hy vọng với những phân tích trên, bạn có thể hiểu rõ hơn về tỉ giác và điều kiện hình học. Nếu cần thêm chi tiết hoặc muốn đi sâu vào một phần nhất định, hãy cho tôi biết!