Cho hàm số \( f(x) = \begin{cases} 3x^2 + 2 & \text{khi } x \leq 3 \\ mx - 5 & \text{khi } x > 3 \end{cases} \) (m là tham số)

Để giải bài toán này, ta sẽ lần lượt thực hiện yêu cầu trong từng mục.

### a. Tính \( f(3) \)

Theo định nghĩa hàm số, khi \( x = 3 \):

\[
f(3) = 3 \cdot 3^2 + 2 = 3 \cdot 9 + 2 = 27 + 2 = 29
\]

### b. Tính \( \lim_{x \to 3} f(x) \)

Ta cần tính giới hạn của hàm số khi \( x \) tiến gần đến 3.

- Khi \( x \) tiến đến 3 từ bên trái (\( x \to 3^- \)):
\[
\lim_{x \to 3^-} f(x) = 3 \cdot 3^2 + 2 = 29
\]

- Khi \( x \) tiến đến 3 từ bên phải (\( x \to 3^+ \)):
\[
\lim_{x \to 3^+} f(x) = m \cdot 3 - 5
\]

Giới hạn tồn tại khi hai giới hạn từ trái và phải bằng nhau:

\[
m \cdot 3 - 5 = 29 \implies 3m = 34 \implies m = \frac{34}{3}
\]

### c. Khi \( m = 1 \) xét tính liên tục của hàm số tại \( x = 3 \)

Khi \( m = 1 \):

- Tính giới hạn:
\[
\lim_{x \to 3^+} f(x) = 1 \cdot 3 - 5 = 3 - 5 = -2
\]

Giới hạn từ trái:
\[
\lim_{x \to 3^-} f(x) = 29
\]

Hai giá trị này không bằng nhau (\( 29 \neq -2 \)), do đó hàm số không liên tục tại \( x = 3 \) khi \( m = 1 \).

### d. Có bao nhiêu giá trị nguyên của \( m \in [-3; 5] \) để hàm số liên tục trên \( \mathbb{R} \)

Hàm số liên tục tại \( x = 3 \) khi:

\[
m \cdot 3 - 5 = 29 \implies 3m = 34 \implies m = \frac{34}{3} \approx 11.33
\]

Vì \( \frac{34}{3} \notin [-3; 5] \), nên hàm số không thể liên tục trên \( \mathbb{R} \) với bất kỳ giá trị nào của \( m \) thuộc \( [-3, 5] \).

**Kết luận:**
- a: \( f(3) = 29 \)
- b: \( \lim_{x \to 3} f(x) = 29 \) (đối với \( m = \frac{34}{3} \))
- c: Hàm không liên tục tại \( x = 3 \) khi \( m = 1 \)
- d: Không có giá trị nguyên nào của \( m \) trong \( [-3; 5] \) để hàm số liên tục trên \( \mathbb{R} \).