Chúng ta sẽ giải quyết từng câu hỏi theo yêu cầu.

a. Tứ giác \( amnc \) là hình gì? Vì sao?

**Giải:**
- Trong tam giác vuông \( abc \) với \( \angle A = 90^\circ \), \( m \) và \( n \) lần lượt là trung điểm của đoạn thẳng \( ab \) và \( bc \). Điều này có nghĩa là:
- \( m \) thuộc \( ab \) và \( n \) thuộc \( bc \).

- Tứ giác \( amnc \) có hai cặp cạnh đối diện là \( am \) và \( cn \), \( an \) và \( mc \).
- Tứ giác này có thể được chứng minh là hình bình hành vì các đường chéo \( mn \) và \( ac \) bắc ngang nhau (vì \( m \) và \( n \) là trung điểm, do đó vị trí của chúng xác định được chiều dài như nhau từ mỗi điểm đầu đến điểm cuối của hai cạnh).

=> Tứ giác \( amnc \) là hình bình hành.

b. Tính diện tích hình thoi \( adbn \) với điều kiện \( ab = 6 \, cm \) và \( ac = 8 \, cm \).

**Giải:**
- Trước tiên, ta lưu ý rằng tứ giác \( adbn \) là hình thoi. Diện tích của hình thoi được tính bằng công thức:

\[
S = \frac{1}{2} \cdot d_1 \cdot d_2
\]

Trong đó \( d_1 \) và \( d_2 \) là chiều dài hai đường chéo của hình thoi.

- Đoạn thẳng \( ab = 6 \, cm \) và đoạn thẳng \( ac = 8 \, cm \).
- Từ tam giác vuông, ta có thể tính được chiều dài của đường chéo \( an \) (đoạn thẳng nối từ \( a \) đến \( n \)) và \( bd \) (đoạn thẳng nối từ \( b \) đến \( d \)), mà cả hai độ dài này đều dễ dàng tính toán từ tam giác vuông.

- Hãy tính chiều dài \( d_1 = ab + an \) và chiều dài \( d_2 = ac + bd \).

1. Tính \( an \):
- Tọa độ của các điểm: giả sử
- \( a = (0, 0) \)
- \( b = (6, 0) \)
- \( c = (0, 8) \)
- Tọa độ của \( n \) là trung điểm của \( bc \):
- \( n = \left( \frac{6 + 0}{2}, \frac{0 + 8}{2} \right) = (3, 4) \).

- Do đó,
\[
an = \sqrt{(3-0)^2 + (4-0)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 \, cm.
\]

2. Tính \( bd \) (với những điều kiện tương tự trên tia đối của tia mn tại \( d \)):
- Đoạn thẳng \( mn = 3 \, cm \) (biết \( mn = md \))
- Như vậy, \( bd = \sqrt{(6-3)^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 \, cm \).

Vì vậy, giả sử \( d_1 = ab + an = 6 + 5 = 11 \, cm \) và \( d_2 = ac + bd = 8 + 5 = 13 \, cm \).

=> Diện tích hình thoi \( adbn \):
\[
S = \frac{1}{2} \cdot d_1 \cdot d_2 = \frac{1}{2} \cdot 11 \cdot 13 = 71.5 \, cm^2.
\]

c. Chứng minh \( b, e, f \) thẳng hàng.

**Giải:**
- Gọi \( e \) là trung điểm của \( mn \), và \( f \) là trung điểm của \( ac \).
- Tính tọa độ của \( e \) và \( f \):
- Tọa độ điểm \( m = (3, 0) \) và \( n = (3, 4) \) (theo cách tính tương tự như trên):
- Vậy \( e = \left( \frac{3+3}{2}, \frac{0+4}{2} \right) = (3, 2) \).
- Tọa độ \( a = (0, 0) \) và \( c = (0, 8) \):
- Vậy \( f = \left( \frac{0+0}{2}, \frac{0+8}{2} \right) = (0, 4) \).

- Từ đó, ta thấy \( b = (6, 0) \), và cả ba điểm \( b(6,0) \), \( e(3,2) \) và \( f(0,4) \) đều thuộc cùng một đường thẳng nếu tỷ lệ giữa tọa độ \( y \) và \( x \) cùng duy trì tính chất. Cụ thể là:

Công thức cho đường thẳng là \( y = mx + b \).
- Vì \( b, e, f \) đều có cùng một tỷ lệ kích thước giữa tọa độ tương ứng.

=> Kết luận rằng \( b, e, f \) thẳng hàng.

Hy vọng bạn có thể hiểu rõ và có được giải thích đầy đủ!