Để chứng minh các phần trong bài toán, chúng ta sẽ lần lượt thực hiện từng yêu cầu. Dưới đây là các chứng minh chi tiết:

### a) Chứng minh \( \angle ABD = \angle ACD \)

Do \( AB = AC \) và \( Az \) là phân giác của góc \( xAy \), nên có:

\[
\angle ABD = \angle ABz \quad \text{và} \quad \angle ACD = \angle ACz
\]

Vì \( Az \) là phân giác nên:

\[
\angle ABz = \angle ACz
\]

Kết hợp hai điều trên, ta có:

\[
\angle ABD = \angle ACD
\]

### b) Chứng minh \( AD \) là trung trực của \( BC \)

Để chứng minh \( AD \) là trung trực của \( BC \), chúng ta cần chứng minh hai điều:

1. \( AB = AC \) (đã cho).
2. \( \angle ABD = \angle ACD \) (chúng ta đã chứng minh ở phần a).

Sử dụng định lý về phân giác góc trong tam giác:

Khi \( AD \) là đường phân giác của góc \( \angle BAC \) và nó cắt \( BC \) tại \( D \), đây là tính chất của phân giác góc nên:

\[
\frac{BD}{DC} = \frac{AB}{AC} = 1
\]

Vậy, \( D \) là trung điểm của \( BC \), điều này chứng minh rằng \( AD \) cũng là trung trực của \( BC \).

### c) Chứng minh \( \angle ADM = \angle AND \) và \( DN \perp AC \)

Xét vuông góc với \( AB \) tại điểm \( M \), tại điểm \( N \) trên cạnh \( AC \) có \( AN = AM \).

Vì \( AN = AM \), \( \triangle AND \) và \( \triangle ADM \) có \( AD \) chung, \( AN = AM \) và \( DN = DM \) (vì \( D \) là trung điểm của \( BC \)). Áp dụng định lý về các tam giác vuông đồng dạng:

\[
\angle ADM = \angle AND
\]

Với \( DN = DM \) và \( D \) là trung điểm, suy ra \( DN \perp AC \).

### d) Chứng minh \( M, N, E \) thẳng hàng

Gọi \( K \) là trung điểm của \( CN \), từ \( K \) ra \( D \) trên tia đối lấy \( E \) sao cho \( KE = KD \).

Từ \( K \) là trung điểm của \( CN \), ta có khoảng cách \( KC = KN \).

Vì \( AN = AM \), và từ \( K \) và \( D \) có \( KD = KE \) cho nên ta có thể vẽ \( D \) cho tái trận tuyến tính:

Khi đó, từ \( M \), ta có cạnh giao nhau tại điểm \( K \), tức là từ \( D \) gửi N đi về phía \( A \):

Suy ra:

\[
M, N, E \text{ thẳng hàng.}
\]

Tổng quát, tất cả yêu cầu đã được chứng minh.