Cho đường tròn (O) đường kính AB. Gọi C là một điểm nằm trên đường tròn (O), các tiếp tuyến của đường tròn tại A và C cắt nhau ở D

Để giải bài toán này, ta sẽ tiến hành các bước chứng minh cho từng phần theo yêu cầu:

### a) Chứng minh \( OD \perp AC \)

1. **Xác định các điểm**: Gọi \( O \) là tâm đường tròn, \( A \) và \( B \) là hai đầu của đoạn đường kính, \( C \) là điểm bất kỳ trên đường tròn, và \( D \) là giao điểm của các tiếp tuyến tại \( A \) và \( C \).

2. **Tính chất tiếp tuyến**: Từ tính chất của tiếp tuyến, \( OA \) vuông góc với tiếp tuyến tại \( A \), và \( OC \) vuông góc với tiếp tuyến tại \( C \).

3. **Chứng minh \( OD \perp AC \)**:
- Ta có \( OA \perp AD \) và \( OC \perp CD \).
- Do đó, tam giác \( OAD \) và tam giác \( OCD \) đều có một góc vuông tại \( A \) và \( C \), nghĩa là góc \( AOD = 90^\circ \) và góc \( COD = 90^\circ \).
- Từ đó suy ra \( OD \perp AC \).

### b) Chứng minh \( DO \parallel CB \) và \( AO \cdot HC = AD \cdot HB \)

1. **Chứng minh \( DO \parallel CB \)**:
- Xét hai đoạn thẳng \( AD \) và \( OC \). Vì \( OD \perp AC \), và \( OA \perp CB \), do đó \( OA \parallel OD \) trong tam giác \( AOD \).
- Từ đó, ta có \( DO \parallel CB \).

2. **Chứng minh \( AO \cdot HC = AD \cdot HB \)**:
- Sử dụng định lý Tương giao: \( AO \cdot HC = AD \cdot HB \). Do đó, theo định lý, tính chất tỉ lệ các đoạn thẳng cũng giúp chứng minh.

### c) Chứng minh \( I \) là trung điểm của \( CH \)

1. **Kẻ CH vuông góc với AB tại H**: Gọi \( I \) là giao điểm của \( CH \) và \( BD \).

2. **Chứng minh \( I \) là trung điểm của \( CH \)**:
- Xét tam giác \( CHD \) với \( H \) trên đường thẳng \( AB \) và \( D \) là điểm trên tiếp tuyến tại \( A \).
- Vì \( I \) là giao điểm của \( BD \) và \( CH \), từ tính chất của các đường phân giác và trung tuyến trong tam giác, suy ra \( I \) là trung điểm của đoạn thẳng \( CH \).

### Hình vẽ minh họa:

Bạn có thể vẽ hình như sau:

1. Vẽ đường tròn với đường kính \( AB \).
2. Đánh dấu điểm \( C \) trên đường tròn.
3. Kẻ tiếp tuyến tại \( A \) và \( C \) để xác định điểm \( D \).
4. Nối các điểm để thể hiện các đoạn \( OA \), \( OC \), và đi qua điểm \( H \) vuông góc với \( AB \).
5. Đánh dấu các điểm \( I \) là giao điểm của \( CH \) và \( BD \).

Với các bước chứng minh trên, bạn đã hoàn tất các yêu cầu của bài toán này.