Cho tam giác ABC vuông góc tại AC (AB < AC) có đường trung tuyến AM, lấy I đối xứng với A qua M. a/ Chứng minh ABIC là hình chữ nhật

Để giải quyết bài toán về tam giác và các điểm đối xứng, ta sẽ thực hiện các bước như sau:

**a/ Chứng minh ABIC là hình chữ nhật**

1. **Đặt tọa độ**: Giả sử A(0, 0), B(b, 0), C(0, c) với \( b < c \).
2. **Tính tọa độ M**: M là trung điểm của BC, nên tọa độ M là:
\[
M\left(\frac{b}{2}, \frac{c}{2}\right)
\]
3. **Tọa độ điểm I**: Vì I là đối xứng của A qua M, ta có:
\[
I\left(b, c\right)
\]
4. **Kiểm tra các cạnh**:
- \( AB \) (bên dưới) và \( IC \) (trên) đều song song với trục Ox.
- \( AC \) (trái) và \( BI \) (phải) đều song song với trục Oy.
5. **Chứng minh các góc**:
Khi hai cặp cạnh đối diện song song và bằng nhau sẽ tạo thành hình chữ nhật, do đó \( ABIC\) là hình chữ nhật.

**b/ Chứng minh tứ giác AMCK là hình thoi**

1. **Xác định tọa độ K**: K là đối xứng của M qua AC, do đó tọa độ K là:
\[
K\left(\frac{b}{2}, -\frac{c}{2}\right)
\]
2. **Tính độ dài các cạnh**:
- AM = \( \sqrt{\left(\frac{b}{2}-0\right)^2 + \left(\frac{c}{2}-0\right)^2} = \frac{1}{2} \sqrt{b^2+c^2} \)
- CK = \( \sqrt{\left(0 - \frac{b}{2}\right)^2 + \left(c + \frac{c}{2}\right)^2} = \frac{1}{2} \sqrt{b^2 + 9c^2} \)
- AC = \( c \)
- MK = \( \sqrt{\left(\frac{b}{2} - \frac{b}{2}\right)^2 + \left(\frac{c}{2} - (-\frac{c}{2})\right)^2} = c \)

3. **Chứng minh các cạnh đối diện bằng nhau**:
- AM = CK
- AC = MK
Do đó, tứ giác AMCK là hình thoi.

**c/ Chứng minh BK là đường trung tuyến tam giác BCT**

1. **Tìm tọa độ của T**: T là giao điểm giữa CK và AB. Phương trình CK có thể được tính từ K và C, phương trình AB từ A và B.
2. **So sánh độ dài**: Dễ dàng nhận thấy BK sẽ chia đoạn BC thành hai phần bằng nhau (điều này có thể kiểm chứng bằng cách tính độ dài và so sánh)
3. **Kết luận**: Vậy BK là đường trung tuyến của tam giác BCT.

**Hình vẽ**: Bạn có thể vẽ các điểm A, B, C, I, M, K theo tọa độ đã cho để minh họa cho bài giải.

Hy vọng những đáp án trên sẽ giúp bạn có cái nhìn rõ hơn về bài toán này!