Cho hình vuông ABCD, ta có các đặc điểm sau:

- Các cạnh của hình vuông đều bằng nhau: AB = BC = CD = DA.
- Độ dài của đường chéo AC (hay BD) được tính bằng công thức \( AC = AB \cdot \sqrt{2} \).

Khi AC giao BD tại O, O chính là điểm giao điểm của hai đường chéo, đồng thời trung điểm của cả hai đường chéo trong hình vuông.

1. **Tìm tỉ lệ giữa \( AB^2 \) và \( AO^2 \)**:

Vì O là trung điểm của AC, nên:
\[
AO = \frac{AC}{2}
\]
Do đó:
\[
AO^2 = \left(\frac{AC}{2}\right)^2 = \frac{AC^2}{4}
\]

Thay \( AC \) vào công thức:
\[
AC^2 = AB^2 \cdot 2 \quad \text{(do } AC = AB \sqrt{2}\text{)}
\]

Vậy ta có:
\[
AO^2 = \frac{AB^2 \cdot 2}{4} = \frac{AB^2}{2}
\]

Vậy tỉ lệ là:
\[
AB^2 = 2 \cdot AO^2
\]

2. **Tìm tỉ lệ giữa \( AC^2 \) và \( AB^2 \)**:

Từ công thức ở trên, ta đã biết rằng:
\[
AC^2 = 2 \cdot AB^2
\]

Tóm lại, ta có:
- \( AB^2 = 2 \cdot AO^2 \)
- \( AC^2 = 2 \cdot AB^2 \)

Như vậy, kết quả là:
\[
AB^2 = 2 \cdot AO^2; \quad AC^2 = 2 \cdot AB^2
\]