Cho hai số \( x, y \) thỏa mãn điều kiện: \( x^2 + 5y^2 - 4xy + 6y + 5 = 0 \). Tính giá trị của biểu thức P

Để giải bài toán này, trước tiên ta cần giải phương trình \( x^2 + 5y^2 - 4xy + 6y + 5 = 0 \).

1. **Phân tích phương trình**:

Ta có:
\[
x^2 - 4xy + 5y^2 + 6y + 5 = 0
\]

Phương trình này là bậc hai theo \( x \) với các hệ số phụ thuộc vào \( y \). Sử dụng công thức nghiệm phương trình bậc hai:
\[
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
\]
với \( a = 1, b = -4y, c = 5y^2 + 6y + 5 \).

2. **Tính discriminate**:

Để có nghiệm thực, ta cần điều kiện:
\[
D = (-4y)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (5y^2 + 6y + 5) \geq 0
\]
\[
D = 16y^2 - 4(5y^2 + 6y + 5) = 16y^2 - 20y^2 - 24y - 20 = -4y^2 - 24y - 20
\]

3. **Giải bất phương trình**:

Sắp xếp lại, ta có:
\[
-4y^2 - 24y - 20 \geq 0 \Rightarrow y^2 + 6y + 5 \leq 0
\]

Giải bất phương trình này:
\[
(y+1)(y+5) \leq 0
\]
Nghiệm của bất phương trình là:
\[
-5 \leq y \leq -1
\]

4. **Tính giá trị của \( x \)**:

Với các giá trị \( y \) nằm trong khoảng trên, ta có thể tìm \( x \):
Chọn \( y = -1 \):
\[
x^2 + 5(-1)^2 - 4x(-1) + 6(-1) + 5 = 0
\]
\[
x^2 + 5 + 4x - 6 + 5 = 0 \Rightarrow x^2 + 4x + 4 = 0
\]
\[
(x + 2)^2 = 0 \Rightarrow x = -2
\]

Chọn \( y = -5 \):
\[
x^2 + 5(-5)^2 - 4x(-5) + 6(-5) + 5 = 0
\]
\[
x^2 + 125 + 20x - 30 + 5 = 0 \Rightarrow x^2 + 20x + 100 = 0
\]
\[
(x + 10)^2 = 0 \Rightarrow x = -10
\]

5. **Tính giá trị của biểu thức \( P \)**:

Tính cho hai cặp nghiệm \( (x, y) = (-2, -1) \) và \( (-10, -5) \):
\[
P = (x-3)^{2023} + (y-2)^{2023} + (x+y-5)^{2023}
\]

- Với \( (x, y) = (-2, -1) \):
\[
P = (-2-3)^{2023} + (-1-2)^{2023} + (-2-1-5)^{2023}
\]
\[
= (-5)^{2023} + (-3)^{2023} + (-8)^{2023} = -5^{2023} - 3^{2023} - 8^{2023}
\]

- Với \( (x, y) = (-10, -5) \):
\[
P = (-10-3)^{2023} + (-5-2)^{2023} + (-10-5-5)^{2023}
\]
\[
= (-13)^{2023} + (-7)^{2023} + (-20)^{2023} = -13^{2023} - 7^{2023} - 20^{2023}
\]

Kết quả là biểu thức \( P \) có giá trị khác nhau cho từng cặp nghiệm. Tóm lại, giá trị cụ thể của \( P \) phụ thuộc vào từng giá trị của \( x \) và \( y \).