Để chứng minh bất đẳng thức \( A = 4a^2b^2 - (a^2 + b^2 - c^2)^2 > 0 \) với \( a, b, c \) là độ dài ba cạnh của một tam giác, ta sử dụng định lý bất đẳng thức của tam giác.

Ta có:

1. **Định lý tam giác**: Đối với bất kỳ tam giác nào với ba cạnh \( a, b, c \), ta có:
\[
a + b > c, \quad a + c > b, \quad b + c > a
\]

2. **Biểu thức cần chứng minh**: Ta cần phải chứng minh rằng:
\[
4a^2b^2 - (a^2 + b^2 - c^2)^2 > 0
\]

3. **Rút gọn biểu thức**:
- Đặt \( x = a^2 + b^2 - c^2 \).
- Khi đó, ta có biểu thức trở thành:
\[
A = 4a^2b^2 - x^2
\]

4. **Áp dụng bất đẳng thức**:
- Theo bất đẳng thức Cauchy-Schwarz:
\[
(a^2 + b^2)(1 + 1) \geq (a + b)^2
\]
Dễ dàng suy ra:
\[
a^2 + b^2 \geq \frac{(a + b)^2}{2}
\]
Từ đó, sẽ có:
\[
c^2 < a^2 + b^2 \implies a^2 + b^2 - c^2 > 0
\]

5. **Kết luận**:
- Khi \( x = a^2 + b^2 - c^2 > 0 \), ta thấy rằng:
\[
4a^2b^2 - x^2 > 0
\]
Do đó:
\[
A > 0
\]

Vì vậy ta có thể kết luận rằng \( A = 4a^2b^2 - (a^2 + b^2 - c^2)^2 > 0 \) với \( a, b, c \) là độ dài ba cạnh của một tam giác.