Tính diện tích tam giác ABM. Tính diện tích tam giác ABC

Để tính diện tích các tam giác \(ABM\) và \(ABC\), ta có thể sử dụng các thông tin đã cho trong bài toán.

### a) Tính diện tích tam giác \(ABM\)

1. **Dữ liệu đã cho**:
- Từ điều kiện bài toán: \(BM = \frac{1}{4}BC\).
- Diện tích tam giác \(BMN = 4 \text{ cm}^2\).

2. **Tính diện tích tam giác \(ABM\)**:
- Diện tích tam giác \(BMN\) bằng 4 cm².
- Tam giác \(ABM\) có độ cao từ điểm \(A\) đến \(BM\) và đáy là \(BM\).
- Do đó, diện tích tam giác \(ABM\) là:
\[
S_{ABM} = S_{BMN} + S_{AMN}
\]
- Chúng ta sẽ cần tính diện tích của tam giác \(AMN\), nhưng trước hết, hãy tìm độ dài của \(BM\) và \(BC\).

3. **Tính tỉ lệ diện tích**:
- Vì \(BM = \frac{1}{4}BC\), nên diện tích tam giác \(ABM\) sẽ nhỏ hơn diện tích tam giác \(ABC\) vì cùng chiều cao.
- Tỉ lệ diện tích giữa \(ABM\) và \(ABC\) là \(1:4\), do \(BM\) chỉ bằng 1 phần 4 \(BC\).

4. **Suy ra diện tích**:
- Gọi diện tích tam giác \(ABC\) là \(S_{ABC}\).
- Ta có:
\[
S_{ABM} = \frac{1}{4} S_{ABC}
\]

### b) Tính diện tích tam giác \(ABC\)

1. **Tổng hợp thông tin**:
- Diện tích tam giác \(BMN = 4 \text{ cm}^2\).
- Diện tích tam giác \(ABC\) bao gồm hai tam giác: \(ABM\) và \(ACM\).
- Vì \(M\) là trung điểm của \(BC\) nên ta có:
\[
S_{ABC} = S_{ABM} + S_{ACM} = S_{ABM} + 4 \text{ cm}^2 (tỉ lệ như trên).
\]

2. **Kết hợp các diện tích lại để tìm diện tích \(ABC\)**:
- Sử dụng tỉ lệ: \(S_{ABM} = 4 \text{ cm}^2\),
- Suy ra:
\[
S_{ABC} = S_{ABM} + S_{AMN} = 4 \text{ cm}^2 + 16 \text{ cm}^2 = 20 \text{ cm}^2.
\]

Vậy:

- **Diện tích tam giác \(ABM\)** là \(4 \text{ cm}^2\).
- **Diện tích tam giác \(ABC\)** là \(16 \text{ cm}^2\).