Để giải phương trình \( 6x + 23y = 276 \) với \( x, y \in \mathbb{Z} \), chúng ta có thể thực hiện các bước sau:

1. **Chuyển đổi phương trình:** Chúng ta có thể biến đổi phương trình để dễ dàng tìm kiếm nghiệm.

\[
6x = 276 - 23y
\]

2. **Chia cho 6:** Để \( x \) là số nguyên, vế phải phải chia hết cho 6:

\[
276 - 23y \equiv 0 \pmod{6}
\]

3. **Tính toán mô-đun:** Tính giá trị của \( 276 \mod 6 \) và \( 23 \mod 6 \):

\[
276 \div 6 = 46 \implies 276 \equiv 0 \pmod{6}
\]
\[
23 \div 6 = 3 \text{ dư } 5 \implies 23 \equiv 5 \pmod{6}
\]

Thay vào phương trình, ta có:

\[
0 - 5y \equiv 0 \pmod{6}
\]

Điều này tương đương với:

\[
5y \equiv 0 \pmod{6}
\]

4. **Giải phương trình mô-đun:** Do \( 5 \) và \( 6 \) là coprime, nên \( y \equiv 0 \pmod{6} \). Giả sử \( y = 6k \) với \( k \in \mathbb{Z} \).

5. **Thay lại vào phương trình gốc:** Thay \( y \) vào phương trình ban đầu:

\[
6x + 23(6k) = 276
\]
\[
6x + 138k = 276
\]
\[
6x = 276 - 138k
\]
\[
x = 46 - 23k
\]

6. **Kết luận:** Nghiệm của hệ là:

\[
x = 46 - 23k \quad \text{và} \quad y = 6k
\]

Với \( k \) là bất kỳ số nguyên nào, ta có các nghiệm \( (x, y) \) thuộc \( \mathbb{Z} \).

Ví dụ, một số nghiệm cụ thể là:
- Nếu \( k = 0 \): \( (46, 0) \)
- Nếu \( k = 1 \): \( (23, 6) \)
- Nếu \( k = 2 \): \( (0, 12) \)
- Nếu \( k = -1 \): \( (69, -6) \)
- Nếu \( k = -2 \): \( (92, -12) \)

Và cứ tiếp tục như vậy cho các giá trị khác của \( k \).