Để chứng minh các tính chất trong hình thoi \(ABCD\) với các điểm \(M\) và \(N\) là giao điểm của hai đường chéo \(AC\) và \(BD\), ta làm như sau:

### a) Chứng minh \(AM \perp BC\):

1. **Tính chất hình thoi**: Trong hình thoi, hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi chéo.
2. **Do đó, \(M\) là trung điểm của \(AC\)** và \(N\) là trung điểm của \(BD\).
3. **Tính chất vuông góc**: Hai đường chéo của một hình thoi vuông góc với nhau. Vậy, \(AM \perp NM\) và \(AN \perp MD\).
4. **Kết luận**: Từ \(M\) hạ đường vuông góc \(MN\) gặp \(BC\) tại \(P\) => \(AM \perp BC\).

### b) Chứng minh \(AC \parallel BD\):

1. **Tính chất hình thoi**: Các cạnh đối của một hình thoi song song với nhau.
2. **Căn cứ vào hình thoi**: \(AB \parallel CD\) và \(AD \parallel BC\).
3. **Do đó**: \(AC \parallel BD\) do \(AC\) là một đường chéo kéo dài và có liên quan đến các cạnh đối.

### c) Chứng minh \(\triangle BDC \) cân:

1. **Tính chất đường chéo**: Do \(ABCD\) là hình thoi, nên \(AB = AD\) và \(BC = CD\).
2. **Hai cạnh \(BD\) là cạnh chung**: Vậy, \(BD\) sẽ tạo ra hai tam giác \(\triangle ABD\) và \(\triangle ACD\) cân.
3. **Từ đó, ta có**: \(\triangle BDC \) cũng cân theo tính chất của hình thoi vì hai cạnh đối song song và có chiều dài bằng nhau.

Như vậy, ta đã chứng minh được rằng \(AM \perp BC\), \(AC \parallel BD\), và \(\triangle BDC\) là tam giác cân.