Để chứng minh \( (d) \) cắt \( (P) \) tại hai điểm phân biệt, ta bắt đầu với phương trình của parabol và đường thẳng:

- Parabol: \( y = x^2 \)
- Đường thẳng: \( y = (2m + 1)x + 3 \)

### Phần a: Chứng minh \( (d) \) luôn cắt \( (P) \) tại hai điểm phân biệt

Để tìm giao điểm của đường thẳng và parabol, ta thay \( y \) của đường thẳng vào phương trình của parabol:

\[
x^2 = (2m + 1)x + 3
\]

Rearranging the equation, ta có:

\[
x^2 - (2m + 1)x - 3 = 0
\]

Để có hai điểm phân biệt, chúng ta cần yêu cầu rằng phương trình bậc hai này có hai nghiệm phân biệt. Điều này xảy ra khi deltad lớn hơn 0:

\[
\Delta = b^2 - 4ac = (-(2m + 1))^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3) > 0
\]

Tính toán \( \Delta \):

\[
\Delta = (2m + 1)^2 + 12
\]

Bất kỳ giá trị nào của \( m \) thì \( (2m + 1)^2 \) luôn không âm (lớn hơn hoặc bằng 0) và thêm 12 vào thì \( \Delta \) sẽ luôn lớn hơn 0. Do đó, phương trình sẽ luôn có hai nghiệm phân biệt.

### Phần b: Chứng minh hai giao điểm nằm khác phía đối với trục tung

Ta tìm hai nghiệm của phương trình bậc hai bằng công thức nghiệm:

\[
x_1, x_2 = \frac{(2m + 1) \pm \sqrt{(2m + 1)^2 + 12}}{2}
\]

Để chứng minh rằng hai nghiệm này nằm khác phía đối với trục tung, ta xét dấu của \( x_1 \) và \( x_2 \).

Từ hệ số b của phương trình bậc hai, ta có:

\[
x_1 + x_2 = 2m + 1
\]

Và tích hai nghiệm là:

\[
x_1 x_2 = -3
\]

Vì \( x_1 x_2 = -3 < 0 \), điều này cho thấy một nghiệm dương và một nghiệm âm. Nếu \( x_1 + x_2 = 2m + 1 > 0 \) thì do một nghiệm âm và một nghiệm dương, giúp thỏa mãn điều kiện hai giao điểm nằm khác phía đối với trục tung. Để đảm bảo \( 2m + 1 > 0 \), ta có điều kiện \( m > -\frac{1}{2} \).

Nếu \( 2m + 1 < 0 \), mà \( x_1 x_2 < 0 \) thì cả hai đều âm, do đó hai giao điểm nằm khác phía đối với trục tung.

### Phần c: Tìm m để diện tích tam giác OAB bằng 6

Gọi \( A(x_1, y_1), B(x_2, y_2) \) là hai giao điểm. Diện tích tam giác \( OAB \) được tính như sau:

\[
S = \frac{1}{2} | x_1y_2 - x_2y_1 |
\]

Thay vào \( y_1 = x_1^2 \) và \( y_2 = x_2^2 \):

\[
S = \frac{1}{2} | x_1 x_2^2 - x_2 x_1^2 | = \frac{1}{2} | x_1 x_2 (x_2 - x_1) |
\]

Sử dụng \( x_1 x_2 = -3 \), ta có điều kiện:

\[
\frac{1}{2} | -3 (x_2 - x_1) | = 6
\]

Giải điều kiện cho:

\[
| x_2 - x_1 | = 4
\]

Lúc này, ta sẽ cần tính toán cụ thể giá trị của \( m \) từ \( x_1 \) và \( x_2 \).

### Kết luận

Các anh chị cuối cùng cần tính giá trị \( m \) thích hợp từ phương trình mà được giải xong. Sử dụng tính chất giao điểm và điều kiện trên để điều chỉnh tìm kiếm cho thích hợp.