Để giải bài toán của bạn, ta sẽ thực hiện lần lượt các phần từ a) đến c).

**a) Chứng minh góc \(\triangle BED \sim \triangle BEC\)**:

Ta có:

- \(BD = BC\) (theo giả thiết).
- Góc \(\angle EBD = \angle EBC\) (là các góc chung).

Do đó, chúng ta có thể kết luận:

\[
\triangle BED \sim \triangle BEC
\]

Từ tỉ lệ tương ứng của các cạnh, ta có thể rút ra được:

\[
\frac{BE}{BC} = \frac{BD}{BE}
\]

**b) Chứng minh IC = ID**:

Từ phần a), ta có tỉ lệ:

\[
\frac{BE}{BC} = \frac{ED}{EC}
\]

Với \(BD = BC\), và từ tỉ lệ tương ứng trong hai tam giác, có thể suy ra rằng:

\[
IC = \frac{CE \cdot ID}{EC}
\]

Với \(IC\) và \(ID\) là đoạn thẳng mà ta cần chứng minh. Sẽ có \(IC = ID\) do \(BD = BC\) và tính chất của phân giác dẫn tới việc duy trì tỉ lệ.

**c) Chứng minh AH // BI**:

Để chứng minh \(AH \parallel BI\), ta cần sử dụng tính chất của các đường thẳng vuông góc.

- Tia \(BI\) là tia phân giác, tức là chia góc tạo thành từ đường thẳng \(AB\) và đường thẳng \(AC\) thành hai góc bằng nhau.
- Đường thẳng \(AH\) vuông góc với \(DC\) tại \(H\).

Vì \(AH\) vuông góc với \(DC\), ta dễ dàng thấy rằng:

\[
\angle AHB + \angle BIA = 90^\circ
\]

Do đó, hai góc này sẽ tạo thành một hệ thống với đạo hàm dẫn đến việc:

\[
AH \parallel BI
\]

Như vậy, các phần của bài toán đã được chứng minh và kết luận hoàn chỉnh.