Gọi hai số chẵn cần tìm là \( x \) và \( y \). Theo đề bài, ta có:

- Trung bình cộng của hai số này là 35:
\[
\frac{x + y}{2} = 35
\]
Suy ra:
\[
x + y = 70 \quad (1)
\]

- Giữa hai số \( x \) và \( y \) có 10 số chẵn liên tiếp, điều này có nghĩa là:
- \( y - x = 10 \cdot 2 = 20 \quad (2) \)
(vì giữa hai số chẵn có 10 số chẵn, mỗi số chẵn cách nhau 2 đơn vị).

Bây giờ, ta có hệ phương trình:
1. \( x + y = 70 \)
2. \( y - x = 20 \)

Ta giải hệ phương trình này. Từ phương trình (2), ta có thể biểu diễn \( y \):
\[
y = x + 20
\]

Thay vào phương trình (1):
\[
x + (x + 20) = 70
\]
\[
2x + 20 = 70
\]
\[
2x = 50
\]
\[
x = 25
\]

Sau đó, thay giá trị \( x \) vào phương trình biểu diễn \( y \):
\[
y = 25 + 20 = 45
\]

Nhưng hai số \( x \) và \( y \) phải là số chẵn. Vậy \( x = 25 \) và \( y = 45 \) không thỏa mãn yêu cầu.

Chúng ta cần một cách tiếp cận khác. Giả sử số nhỏ hơn \( x = 2n \) với \( n \) là một số nguyên. Khi đó:
\[
y = x + 20 = 2n + 20
\]

Giải phương trình (1):
\[
2n + (2n + 20) = 70
\]
\[
4n + 20 = 70
\]
\[
4n = 50
\]
\[
n = 12.5
\]

Kết quả này cũng không phải là số nguyên, do đó phương pháp này không phù hợp.

Vì vậy, ta sẽ xét trực tiếp các số chẵn. Giả sử hai số chẵn đầu tiên là \( x \) và \( y \):
\[
x = 30 \quad y = 40 \quad (n = 0)
\]
Các số giữa là \( 32, 34, 36, 38 \) (4 số), không đủ.

Tiếp đến:
\[
x = 28 \quad y = 42 \quad (n = 1)
\]
Các số giữa là \( 30, 32, 34, 36, 38, 40 \) (6 số), không đủ.

Tiến tiếp:
\[
x = 26 \quad y = 44 \quad (n = 2)
\]
Các số giữa là \( 28, 30, 32, 34, 36, 38, 40, 42 \) (8 số), không đủ.

Đến khi:
\[
x = 24 \quad y = 46 \quad (n = 3)
\]
Các số giữa là \( 26, 28, 30, 32, 34, 36, 38, 40, 42, 44 \) (10 số).

Vậy hai số chẵn là \(\boxed{24 \text{ và } 46}\).