a)
Ta có EM ⊥ AH (gt) và EN ⊥ BC (gt).
Vì AH là đường cao của tam giác ABC nên AH ⊥ BC. Do đó, EM // BC (cùng vuông góc với AH).
Vì EM // BC và EN ⊥ BC nên EM ⊥ EN. Vậy góc MEN = 90°.
Tương tự, vì EN ⊥ BC và AH ⊥ BC nên EN // AH. Mà EM ⊥ AH nên EN ⊥ EM. Vậy góc NEM = 90°.
Ta cũng có góc MHN = 90° (vì AH ⊥ BC và EN ⊥ BC).
Tứ giác EMHN có ba góc vuông (MEN = NEM = MHN = 90°).
Vậy, tứ giác EMHN là hình chữ nhật (dấu hiệu nhận biết hình chữ nhật).
b) 
Để hình chữ nhật EMHN trở thành hình vuông, cần thêm điều kiện hai cạnh kề bằng nhau, tức là EM = EN.
Xét tam giác AHC vuông tại H. Vì tam giác ABC vuông cân tại A nên góc ACB = 45°.
Xét tam giác ENC vuông tại N, ta có góc ECN = góc ACB = 45°. Vậy tam giác ENC vuông cân tại N. Suy ra EN = NC.
Xét tam giác AME vuông tại M. Ta có góc MAE = 90° - góc AEM.
Vì EM // BC nên góc AEM = góc ACB = 45° (hai góc đồng vị).
Do đó, góc MAE = 90° - 45° = 45°. Vậy tam giác AME vuông cân tại M. Suy ra AM = EM.
Để EM = EN, ta cần AM = NC.
Ta có AH là đường cao của tam giác ABC vuông cân tại A nên AH đồng thời là đường trung tuyến. Suy ra H là trung điểm của BC. Do đó, BH = HC.
Ta có AM + MH = AH và HN + NC = HC.
Vì EMHN là hình chữ nhật nên MH = EN.
Để EM = EN thì AM = NC. Mà AM + MH = AH và HN + NC = HC nên khi AM = NC thì MH=HN
Vậy khi E là trung điểm của AC thì AM = MC.
Khi đó AM = MH = HN = NC.
Vì vậy EM=EN.
Vậy, để EMHN là hình vuông, điểm E phải là trung điểm của cạnh AC.

 

Vì EM ⊥ AH
=> ^EMH = 90°
Vì EN ⊥ BC
=> ^ENH = 90°
Vì AH ⊥ BC
=> ^AHB = 90°
hay ^AHN = 90°
Xét tứ giác EMHN có :
^ENH = ^AHN = ^EMH = 90°
=> Tứ giác EMHN là hình chữ nhật 
b) Để tứ giác EMHN là hình vuông 
Thì E phải là trung điểm AB