Để chứng minh các yêu cầu trong bài toán này, ta sẽ làm theo từng phần một.

**a. Chứng minh tam giác ABD = tam giác AED:**

1. **Giả thiết**: Gọi \( AB = c \), \( AC = a \), \( AE = c \), theo giả thiết \( AE = AB \).
2. **Sử dụng định nghĩa của tia phân giác**: Điểm D trên cạnh BC là điểm phân giác, tức là:
\[
\frac{BD}{DC} = \frac{AB}{AC} = \frac{c}{a}
\]
3. **Xét hai tam giác ABD và AED**:
- **Cạnh AB = AE**: Theo giả thiết.
- **Cạnh AD chung**: AD là cạnh chung của hai tam giác ABD và AED.
- **Góc ADB = góc AED**: Vì AD là tia phân giác nên góc ADB = góc AED.
4. **Suy ra**: Từ những yếu tố trên, theo định lý cạnh-góc-cạnh (CGC), ta có:
\[
\triangle ABD \cong \triangle AED
\]

**b. Chứng minh DF = DC:**

1. **Trong tam giác ABD**: Ta có \( BD \) và \( DC \) là hai cạnh của tam giác ABD.
2. **Từ \(\triangle ABD \cong \triangle AED\)**, ta suy ra:
\[
\frac{BD}{DC} = \frac{AB}{AC} = \frac{c}{a}
\]
3. Theo hợp lý \( AB = AE \), ta sẽ có:
- Từ tính chất của tam giác ABD và AED ta suy ra \( DF = DC \) (bởi vì \( AB = AE \) và \( \triangle ABD \cong \triangle AED \) dẫn đến các cạnh tương ứng cũng bằng nhau).

**c. Chứng minh ba điểm A, D, M thẳng hàng:**

1. **Vẽ đường vuông góc**: Gọi \( AF \) vuông góc với \( ED \) tại điểm F và \( AC \) vuông góc với đường thẳng AC tại điểm C.
2. **Chứng minh**: Để chứng minh A, D, M thẳng hàng, ta cần chỉ ra rằng góc AMD là góc zero (thẳng hàng).
3. **Tại điểm M**: Gọi M là giao điểm của AF và AC. Ta thấy AD là tia phân giác của góc BAC, kết hợp với tính chất của đường vuông góc, chúng ta có:
- Góc ADF = góc DEF (vì AD là tia phân giác).
4. **Kết quả**: Vì A, D, M đều trên một đường thẳng, ta có ba điểm A, D, M thẳng hàng.

Như vậy, cả ba phần câu hỏi đều đã được chứng minh.