Tìm số tự nhiên n khác 0 để (n² - 8)² + 6² là một số nguyên tố

Để tìm số tự nhiên \(n\) khác 0 sao cho \((n^2 - 8)^2 + 6^2\) là một số nguyên tố, trước tiên, ta sẽ đơn giản hóa biểu thức:

\[
(n^2 - 8)^2 + 6^2 = (n^2 - 8)^2 + 36
\]

Ta sẽ thử một số giá trị của \(n\) từ 1 đến 10:

- **Khi \(n = 1\):**
\[
(1^2 - 8)^2 + 36 = (-7)^2 + 36 = 49 + 36 = 85 \quad (\text{không phải số nguyên tố})
\]

- **Khi \(n = 2\):**
\[
(2^2 - 8)^2 + 36 = (-4)^2 + 36 = 16 + 36 = 52 \quad (\text{không phải số nguyên tố})
\]

- **Khi \(n = 3\):**
\[
(3^2 - 8)^2 + 36 = (1)^2 + 36 = 1 + 36 = 37 \quad (\text{số nguyên tố})
\]

- **Khi \(n = 4\):**
\[
(4^2 - 8)^2 + 36 = (8)^2 + 36 = 64 + 36 = 100 \quad (\text{không phải số nguyên tố})
\]

- **Khi \(n = 5\):**
\[
(5^2 - 8)^2 + 36 = (17)^2 + 36 = 289 + 36 = 325 \quad (\text{không phải số nguyên tố})
\]

- **Khi \(n = 6\):**
\[
(6^2 - 8)^2 + 36 = (28)^2 + 36 = 784 + 36 = 820 \quad (\text{không phải số nguyên tố})
\]

- **Khi \(n = 7\):**
\[
(7^2 - 8)^2 + 36 = (41)^2 + 36 = 1681 + 36 = 1717 \quad (\text{không phải số nguyên tố})
\]

- **Khi \(n = 8\):**
\[
(8^2 - 8)^2 + 36 = (56)^2 + 36 = 3136 + 36 = 3172 \quad (\text{không phải số nguyên tố})
\]

- **Khi \(n = 9\):**
\[
(9^2 - 8)^2 + 36 = (73)^2 + 36 = 5329 + 36 = 5335 \quad (\text{không phải số nguyên tố})
\]

- **Khi \(n = 10\):**
\[
(10^2 - 8)^2 + 36 = (92)^2 + 36 = 8464 + 36 = 8500 \quad (\text{không phải số nguyên tố})
\]

Từ các kiểm tra trên, ta thấy chỉ có khi \(n = 3\) thì biểu thức đưa ra một số nguyên tố là \(37\). Vậy số tự nhiên \(n\) thỏa mãn điều kiện là:

\[
\boxed{3}
\]