Để chứng minh các yêu cầu trong bài toán về tam giác vuông \(ABC\) tại \(A\) mà \(AB < AC\), với tia phân giác \(BD\) của góc \(B\), ta sẽ thực hiện như sau:

### a. Chứng minh \( \triangle BAD \cong \triangle BED \)

Ta cần chứng minh rằng hai tam giác \(BAD\) và \(BED\) bằng nhau.

1. **Góc chung**: Ta có \( \angle ABE \) là góc chung của hai tam giác \(BAD\) và \(BED\).
2. **Góc \(ABD\)**: Do \(BD\) là tia phân giác của góc \(B\), nên \( \angle ABD = \angle EBD \).
3. **Cạnh \(AD\)**: \(AD\) là cạnh chung của hai tam giác \(BAD\) và \(BED\).

Từ những yếu tố trên, ta có:

- \( \angle ABE = \angle ABE\) (góc chung)
- \( \angle ABD = \angle EBD\) (tính chất của tia phân giác)
- \(AD\) là cạnh chung.

Do đó, theo tiêu chuẩn góc-góc-cạnh (góc-góc-cạnh - G-G-C), ta suy ra \( \triangle BAD \cong \triangle BED \).

### b. Chứng minh \( BD \perp AE \)

Từ tam giác \(BAD\) và \(BED\) được chứng minh bằng nhau, chúng ta có:

- \(AB = BE\) (bằng nhau do chứng minh ở a).
- \(BD\) là tia phân giác nên \( \angle ABD = \angle EBD\).

Bây giờ, do \( DE \perp BC\), ta có góc \(BED = 90^\circ - \angle ABD\) (mà \( \angle ABD + \angle EBD = 90^\circ\)). Vậy:

\[
\angle AED = 90^\circ \text{ (do DE vuông góc với BC)}
\]

Vì hai góc \( \angle ABD\) và \( \angle AED\) bổ sung cho nhau và đồng thời \(BD\) là tia phân giác thì ta có \( BD \perp AE\).

### c. Chứng minh \( AF = EC \)

Ta gọi \(F\) là giao điểm của \(ED\) và \(AB\). Để chứng minh \(AF = EC\), chúng ta sẽ xem xét các tam giác và các đoạn thẳng.

1. **Tam giác \(ABD\) và \(BDE\)**:
- Ta đã chứng minh rằng \( \triangle BAD \cong \triangle BED \).

2. **Góc**:
- Từ \(BD \perp AE\) (do chứng minh ở phần b), ta có \( \triangle ABE \) cũng tương tự với \( \triangle CED\) (do đường song song).

Dựa vào tính chất của các tam giác vuông và điểm giao nhau \( F\), chúng ta thấy rằng:

\[
AF = BE = EC \text{ (bởi vì }\triangle ABD \cong \triangle BED\text{)}
\]

Kết hợp lại, ta có \(AF = EC\).

Tóm lại, sau khi chứng minh từng phần, chúng ta nhận thấy rằng:

1. \( \triangle BAD \cong \triangle BED \)
2. \( BD \perp AE \)
3. \( AF = EC \)

Vậy bài toán đã được chứng minh.