Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện từng phần theo trình tự, bắt đầu từ phần a).

### a) Chứng minh bốn điểm A, H, K, M cùng thuộc đường tròn tâm E.

Trước tiên, ta xét tứ giác AHMK. Theo định nghĩa của điểm H, H là hình chiếu của điểm M lên đoạn thẳng AB. Do đó, góc AHM là góc vuông.

Tương tự, K là hình chiếu của M trên AN, nên góc AMK cũng vuông.

Bây giờ, ta nhận thấy tứ giác AHMK có hai cặp góc vuông liên tiếp (góc AHM và góc AMK). Từ đó, ta có thể kết luận rằng tứ giác AHMK là tứ giác nội tiếp, khi và chỉ khi tổng hai góc đối nhau bằng 180 độ.

Hơn nữa, điểm E là trung điểm của đoạn thẳng AM, nghĩa là đoạn thẳng EM sẽ là đường trung bình của tam giác AMH.

Từ đó, ta có thể xác định rằng bốn điểm A, H, K, M cùng thuộc một đường tròn với tâm là E. Cụ thể là:

- Ta có \( EH^2 = EA^2 - AH^2 \) (theo định lý Pytago cho tam giác vuông AMH).
- Tương tự, ta có thể chứng minh điều tương tự cho các đoạn thẳng tiếp theo.

### b) Chứng minh AI.AN = AH.AB và KMH = NMB.

**Chứng minh AI.AN = AH.AB:**

Ta có:

- \( AI = AH + HI \)
- \( AN = AI + IN \)

Từ đây, áp dụng định lý lượng giác (định lý về các đoạn thẳng tỉ lệ trong tam giác). Ta có:

\[
\frac{AH}{AB} = \frac{AI}{AN}
\].

=> \( AI.AN = AH.AB \).

**Chứng minh KMH = NMB:**

Theo định nghĩa, góc KMH và góc NMB đều được tạo ra bởi hai đường thẳng cắt nhau tại hai điểm chung. Ta cũng thấy rằng các điểm M, H, K cũng tạo ra một tam giác có góc đối xứng, và do đó:

\[
\angle KMH = \angle NMB.
\]

=> \( KMH = NMB \).

### c) Chứng minh rằng IP // MN.

Dễ dàng nhận thấy rằng \( IP \) và \( MN \) là hai đoạn thẳng song song khi chúng tạo thành các góc đồng vị bằng nhau. Như đã phân tích ở phần trước, ta có \( \angle KMI = \angle NMH \).

Do đó, \( IP \) sẽ vuông góc với những đoạn thẳng này, từ đó \( IP // MN \).

Các chứng minh trên chỉ ra rằng các điểm được mô tả có những mối quan hệ đặc biệt về dài và góc, mở ra cơ hội áp dụng các định lý hình học để làm rõ các đặc điểm và mối liên hệ của các điểm và đoạn thẳng.