Một doanh nghiệp độc quyền có hàm cầu về sản phẩm là Q

Để tìm giá và sản lượng tối ưu của nhà độc quyền để tối đa hóa lợi nhuận, ta cần thực hiện các bước sau:

### Bước 1: Tìm hàm doanh thu (TR) và hàm chi phí (TC)

1. **Hàm cầu:** \(Q = 27,5 - 0,025P\)

Từ đó, ta có:

\[
P = \frac{27,5 - Q}{0,025}
\]

2. **Hàm doanh thu (TR):**

Hàm doanh thu được tính bằng \(TR = P \times Q\):

\[
TR = \left(\frac{27,5 - Q}{0,025}\right) \times Q = \frac{(27,5Q - Q^2)}{0,025}
\]

\[
TR = 1100Q - 40Q^2
\]

3. **Hàm chi phí biến đổi (AVC):**

Ta có hàm chi phí biến đổi bình quân là \(AVC = 10Q + 100\).

Do đó, tổng chi phí biến đổi là:

\[
TVC = AVC \times Q = (10Q + 100) \times Q = 10Q^2 + 100Q
\]

4. **Tổng chi phí (TC):**

Tổng chi phí được tính bằng tổng chi phí cố định (TFC) cộng với tổng chi phí biến đổi (TVC). Biết rằng \(AFC = 200\) tại \(Q = 10\):

\[
TFC = AFC \times Q = 200 \times 10 = 2000
\]

Do đó, hàm tổng chi phí là:

\[
TC = TFC + TVC = 2000 + 10Q^2 + 100Q
\]

### Bước 2: Tìm lợi nhuận (π)

Lợi nhuận được tính bằng:

\[
\pi = TR - TC = (1100Q - 40Q^2) - (2000 + 10Q^2 + 100Q)
\]

\[
\pi = 1100Q - 40Q^2 - 2000 - 10Q^2 - 100Q
\]

\[
\pi = 1000Q - 50Q^2 - 2000
\]

### Bước 3: Tối đa hóa lợi nhuận

Để tối đa hóa lợi nhuận, ta cần lấy đạo hàm của hàm lợi nhuận và đặt bằng 0:

\[
\frac{d\pi}{dQ} = 1000 - 100Q = 0
\]

Giải phương trình trên:

\[
100Q = 1000 \implies Q = 10
\]

### Bước 4: Tính giá tại Q = 10

Sử dụng hàm cầu để tìm giá:

\[
P = \frac{27,5 - Q}{0,025} = \frac{27,5 - 10}{0,025} = \frac{17,5}{0,025} = 700
\]

### Bước 5: Tính lợi nhuận

Bây giờ, ta tính lợi nhuận tại \(Q = 10\):

\[
TR = 1100Q - 40Q^2 = 1100 \times 10 - 40 \times 10^2 = 11000 - 4000 = 7000
\]

\[
TC = 2000 + (10 \times 10^2) + (100 \times 10) = 2000 + 1000 + 1000 = 4000
\]

Cuối cùng, tính lợi nhuận:

\[
\pi = TR - TC = 7000 - 4000 = 3000
\]

### Kết luận

- **a. Giá và sản lượng tối ưu:**
- Sản lượng tối ưu \(Q = 10\)
- Giá tối ưu \(P = 700\)

- **b. Mức lợi nhuận tối đa là:** \(3000\)