a) 
Theo đề bài, BD là tia phân giác của góc B.
Theo định nghĩa tia phân giác, tia phân giác chia góc thành hai góc bằng nhau.
Vậy, ∠ABD = ∠EBD. (Điều phải chứng minh)
b) 
Xét hai tam giác ABD và EBD:
BA = BE (giả thiết)
∠ABD = ∠EBD (chứng minh trên)
BD là cạnh chung
Vậy, ΔABD = ΔEBD (c.g.c)
Suy ra, AD = ED (hai cạnh tương ứng) và ∠BAD = ∠BED = 90°
Vì ∠BED = 90°, nên ED ⊥ BC.
Xét hai tam giác ADF và EDC:
∠ADF = ∠EDC (hai góc đối đỉnh)
AD = ED (chứng minh trên)
∠DAF = ∠DEC = 90°
Vậy, ΔADF = ΔEDC (g.c.g)
Suy ra, DF = DC (hai cạnh tương ứng). (Điều phải chứng minh)
c)
Ta có EM ⊥ DC và AN ⊥ DF. Mà DF = DC (chứng minh trên), suy ra ΔDFC cân tại D.
Vì ΔADF = ΔEDC (chứng minh trên), nên AF = EC.
Xét tứ giác ANEM:
∠NAM = ∠NEM = 90°
Suy ra, tứ giác ANEM nội tiếp đường tròn đường kính AE.
Gọi O là trung điểm của AE. O là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác ANEM.
Vì BA = BE, suy ra B nằm trên đường trung trực của AE.
Do O là trung điểm của AE, nên BO là đường trung trực của AE. Vậy BO ⊥ AE.
Ta có BD là tia phân giác của góc ABC.
Xét ΔBEM và ΔBAM ta có:
BE = BA (gt)
∠EBM = ∠ABM (BD là phân giác)
BM chung
Suy ra ΔBEM = ΔBAM (c.g.c) => EM = AM
Do ΔADF = ΔEDC (cmt) => AF = EC. Mà BE = BA => BE + AF = BA + EC => BF = BC
Ta có: BM là trung tuyến của tam giác cân BEC => BM ⊥ EC
Mà EM ⊥ DC => EM // BM
Mà AN ⊥ DF => AN // BM
Suy ra AN, EM, BM cùng vuông góc với một đường thẳng.
Mà I là giao điểm của AN và EM. Suy ra I thuộc đường thẳng BM.
Vậy B, D, I thẳng hàng. (Điều phải chứng minh)