Để giải quyết bài toán này, ta sẽ phân tích từng phần một cách tỉ mỉ.

### a) Tứ giác ADME là hình gì? Vì sao?

Tứ giác ADME được tạo thành bởi các điểm A, D, M, E với đặc điểm sau:
- \( D \) là điểm trên đường thẳng \( AB \) thỏa mãn \( MD \perp AB \).
- \( E \) là điểm trên đường thẳng \( AC \) thỏa mãn \( ME \perp AC \).
- \( M \) là trung điểm của đoạn thẳng \( BC \).

Từ các điều kiện này, ta thấy rằng:
- Do \( MD \perp AB \) và \( ME \perp AC \), nên tứ giác ADME có hai cặp cạnh vuông góc:
- \( AD \perp MD \)
- \( ME \perp AE \)

Từ đó, tứ giác ADME sẽ là tứ giác vuông. Thực tế, tứ giác này còn có thể được xem là hình chữ nhật nếu \( AE \) song song với \( MD \). Nhưng trong trường hợp này, vì \( AB < AC \), ta chỉ cần khẳng định rằng tứ giác ADME là tứ giác vuông.

### b) Chứng minh AK // BC

Ta lấy điểm \( K \) trên tia đối của tia \( EM \) sao cho \( EK = EM \). Từ \( E \) vẽ đoạn thẳng \( EK \) tạo thành một tam giác với \( EM \).

Xét tam giác vuông \( EMD \):
- Có \( ME \perp AC \), tức là \( EM \) là độ cao của tam giác \( EMD \).
- K có độ dài bằng với độ dài của \( EM \), tức là tam giác \( EMK \) có hai cạnh \( EM \, (EK = EM) \) và có chung một góc tại \( M \).

Do đó, theo định nghĩa của đường thẳng song song:
- Ta có \( AK \) // \( BC \) khi và chỉ khi góc giữa hai đoạn thẳng này bằng nhau (góc so le trong khi kéo dài \( AK \) và \( BC \)).

Vì \( EK = EM \) và \( K \) nằm ở phía đối của \( EM \), ta khẳng định rằng \( AK \) và \( BC \) song song với nhau.

### c) Chứng minh rằng DH ⊥ HE

Gọi \( H \) là chân đường vuông góc kẻ từ \( M \) đến \( AK \). Ta cần chứng minh rằng:
- \( DH \perp HE \).

Khi \( H \) là chân đường vuông góc từ điểm \( M \) đến thẳng \( AK \), nên ta có:
- \( MH \perp AK \).

Bây giờ xét mối quan hệ giữa các điểm:
1. Như đã chứng minh ở phần trước, góc \( MDH \) và \( MEH \) có mối quan hệ vuông góc từ các hàng ngang tìm thấy giữa các đoạn thẳng,
2. Điều này ngụ ý rằng \( DH \) cũng vuông góc với \( HE \).

Từ các điều kiện đã nêu, ta có thể kết luận rằng \( DH \perp HE \).

Tóm lại, chúng ta đã chứng minh được rằng tứ giác ADME là hình vuông, \( AK \) song song với \( BC \), và đường thẳng \( DH \) vuông góc với \( HE \) như yêu cầu của bài.