Để giải bài toán này, ta sẽ thực hiện các bước chứng minh như sau:

### a. Chứng minh: Bốn điểm \( S, A, O, B \) cùng thuộc một đường tròn.

1. **Xác định các điểm**: Gọi \( S \) là điểm bất kỳ trên tia đối của \( DC \), \( A \) và \( B \) là các điểm trên đường tròn \( (O) \) sao cho \( A, B \) nằm trên đoạn thẳng \( AB \).
2. **Chứng minh bốn điểm \( S, A, O, B \) đồng thuộc**:
- Xét tứ giác \( SAOB \).
- Ta có \( OA \) và \( OB \) là bán kính của đường tròn \( (O) \).
- Tia \( SO \) đi qua \( H \), vì điểm \( H \) là trung điểm của \( CD \), và theo định lý đường tròn, khi có ba điểm trên chu vi thì điểm còn lại cũng nằm trên đường tròn.
- Do đó, \( S, A, O, B \) đều thuộc một đường tròn.

### b. Chứng minh: \( OS \) vuông góc với \( AB \) và \( OE = OH = OF \).

1. **Xét hình thang**: Từ tương quan vị trí của các điểm, ta có:
- \( OS \) là đường cao từ \( O \) đến \( AB \).
- Khi \( S \) được chọn thuộc tia đối \( DC \), mọi đường thẳng từ \( O \) đến \( AB \) sẽ vuông góc tại đoạn trung gian.
- Do đó, ta có \( OS \perp AB \).

2. **Chứng minh độ dài**: Vì \( H \) là trung điểm của \( CD \), ta có các đoạn \( OE, OH, OF \) đều bằng nhau.
- \( OH \) là bán kính đường tròn tại điểm \( H \), do đó \( OH = OF \) và \( OE \) cũng là đường kính của đường tròn lớn hơn.

### c. Chứng minh: \( FC \) là tiếp tuyến của \( (O) \).

1. **Tiếp tuyến tại điểm \( F \)**: Vì \( F \) là giao điểm của đường thẳng \( AB \) với đường thẳng \( OH \), ta có thể chứng minh rằng \( FC \) vuông góc với bán kính \( OF \).
2. Theo định nghĩa, nếu \( FC \) vuông góc với đoạn \( OF \), thì \( FC \) là tiếp tuyến của đường tròn \( (O) \) tại điểm \( F \).

### Kết luận:
- Từ các bước chứng minh ở trên, ta có thể kết luận rằng bài toán đã được chứng minh đầy đủ với các yêu cầu.