a) Chứng minh ΔABE = ΔDBE và ED ⊥ BC.
Chứng minh ΔABE = ΔDBE:
Xét hai tam giác vuông ΔABE và ΔDBE, ta có:
AB = BD (giả thiết)
BE là cạnh chung
∠ABE = ∠DBE (BE là tia phân giác của góc ABC)
Vậy ΔABE = ΔDBE (cạnh huyền - cạnh góc vuông).
Chứng minh ED ⊥ BC:
Vì ΔABE = ΔDBE (chứng minh trên) nên AE = DE (hai cạnh tương ứng).
Xét hai tam giác vuông ΔADE và ΔCDE, ta có:
AE=DE (cmt)
DE là cạnh chung
AD=DC (gt)
Vậy ΔADE = ΔCDE (c.c.c)
Suy ra ∠AED = ∠CED. Mà ∠AED + ∠CED = 180° (hai góc kề bù).
Do đó ∠AED = ∠CED = 90°. Vậy ED ⊥ AC.
Ta có ΔABE = ΔDBE (cmt) => góc BAE= góc BDE=90 độ => ED ⊥ BC
b) Chứng minh BE là đường trung trực của đoạn thẳng AD.
Vì ΔABE = ΔDBE (chứng minh trên) nên AE = DE. Do đó E nằm trên đường trung trực của AD.
Vì AB = BD, nên B cũng nằm trên đường trung trực của AD.
Vậy BE là đường trung trực của đoạn thẳng AD (đường thẳng đi qua hai điểm cách đều hai đầu mút của đoạn thẳng là đường trung trực của đoạn thẳng đó).
c) Chứng minh ba điểm D, E, F thẳng hàng.
Đây là phần khó nhất của bài toán. Ta sẽ chứng minh như sau:
Gọi K là giao điểm của DE và AB.
Xét ΔADC có AE=DE(cmt) => E là trung điểm của AC
Ta có AF=DC(gt)
Xét ΔAFE và ΔCDE có:
AF=CD
AE=DE
Góc FAE= góc CDE (cùng phụ góc AED)
=> ΔAFE = ΔCDE(c.g.c)
=> góc AFE = góc CDE
Mà góc ADE+ góc CDE = 180 độ
=> góc ADE + góc AFE = 180 độ => 2 góc này là 2 góc trong cùng phía bù nhau => FE//BC
Mà DE vuông góc với BC (cmt) => FE vuông góc với DE => F,E,D thẳng hàng