Cho nửa đường tròn (O), đường kính AB = 2R

Để giải bài toán này, chúng ta sẽ tiến hành từng phần một.

### a) Chứng minh rằng: AP + BQ = PQ.

1. **Hình vẽ và ký hiệu**: Trong nửa đường tròn có đường kính AB, lấy điểm M thuộc đường tròn. Đường tiếp tuyến tại M sẽ cắt đường tiếp tuyến Ax tại P và cắt đường tiếp tuyến By tại Q.

2. **Xét tam giác APQ**: Tam giác APQ có một cạnh PQ là đường nối giữa hai điểm tiếp tuyến P và Q. Để áp dụng định lý tiếp tuyến, chúng ta có:
- Từ điểm A, có AP là đoạn thẳng nối A đến tiếp tuyến tại M và, trên cùng một nguyên lý, BQ là đoạn thẳng nối B đến tiếp tuyến tại M.

3. **Áp dụng định lý tiếp tuyến**: Theo định lý tiếp tuyến, ta có thể khẳng định được rằng: đoạn AP được tạo thành từ A đến điểm cắt P trên tiếp tuyến tại M, cũng như đoạn BQ từ B đến điểm cắt Q trên tiếp tuyến tại M.

4. **Chứng minh**: Trong tam giác APQ ta có:
- Đoạn AP + BQ = PQ (căn cứ vào tính chất của tiếp tuyến).

Do đó, \( AP + BQ = PQ \) được chứng minh.

### b) So sánh diện tích MAB và MOB.

1. **MAB** và **MOB** đều là các hình quạt giới hạn bởi 2 bán kính của đường tròn (OA, OB) và cung tròn AB (M là điểm trên đường tròn).
2. **Diện tích**:
- Diện tích của hình quạt MAB là:
\[
S_{MAB} = \frac{1}{2} R^2 \theta
\]
- Diện tích của hình quạt MOB là:
\[
S_{MOB} = \frac{1}{2} R^2 \phi
\]
với \( \theta \) và \( \phi \) là góc tại tâm O tương ứng với cung AB.

3. Vì góc MAB & MOB phụ thuộc vào vị trí điểm M, do đó:
- Nếu M gần A: \( S_{MAB} > S_{MOB} \)
- Nếu M gần B: \( S_{MOB} > S_{MAB} \)
- Nếu M nằm chính giữa: \( S_{MAB} = S_{MOB} \)

Tùy vào vị trí của M mà so sánh \( S_{MAB} \) và \( S_{MOB} \).

### c) Cho MA = MO, R = 3cm. Tính diện tích hình quạt giới hạn bởi bán kính OA và OM.

1. **Đoạn MA = MO**: Về hình, ta có tam giác MAB là một tam giác cân với MA = MO = R.
2. **Góc giữa OA và OM**: Với điều kiện cho trước, góc tại O (góc AOB) bằng 90 độ vì AB là đường kính (dựa trên định lý của đường tròn).
3. **Tính diện tích hình quạt**: Dùng công thức diện tích của hình quạt:
\[
S = \frac{1}{2} R^2 \theta
\]
Với \( R = 3cm \) và góc \( \theta = 90^\circ \) (do MA = MO),
\[
S = \frac{1}{2} \cdot 3^2 \cdot \frac{\pi}{2} = \frac{9\pi}{4}.
\]

### Hình vẽ


Hy vọng các bước giải thích rõ ràng và dễ hiểu! Nếu có phần nào cần thảo luận thêm, bạn có thể nhắn cho tôi!