Cho tam giác ABC có trung tuyến AP.M,N lần lượt thuộc AC sao cho AM=MN=NC a). cmr NP//BM b). cmr MH=1/4 BM (H là giao điểm của AP và BM)

Để chứng minh các yêu cầu trong bài toán, ta sẽ sử dụng một số tính chất của tam giác và định nghĩa về trung tuyến.

Cho tam giác \( ABC \) có trung tuyến \( AP \) với \( P \) là trung điểm của \( BC \). Điểm \( M \) nằm trên \( AC \) sao cho \( AM = MN = NC \). Do đó, ta có:

\[
AM = MN = NC = x \quad (\text{với } AC = 3x)
\]

a) Để chứng minh \( NP \parallel BM \):

- Ta có \( M \) và \( N \) chia cạnh \( AC \) thành 3 đoạn bằng nhau. Do đó, \( M \) và \( N \) nằm ở vị trí tương ứng liên tiếp trên \( AC \).
- Gọi \( D \) là trung điểm của \( AC \). Khi đó, \( D \) nằm giữa \( M \) và \( N \) và có thể được chứng minh rằng \( D \) đồng thẳng với \( B \) và \( C \) do \( P \) là trung điểm của \( BC \).
- Vì \( AP \) là trung tuyến, ta có \( AB = AC \) hay \( AB: AP = AC : AP \).
- Theo quy tắc hình bình hành, ta rút ra rằng đường thẳng \( NP \) và \( BM \) sẽ song song vì chúng cắt hai đường thẳng đồng thời với các tỷ lệ phân đoạn tương ứng.

Do đó, ta có:

\[
NP \parallel BM
\]

b) Để chứng minh \( MH = \frac{1}{4} BM \):

- Gọi \( H \) là giao điểm của \( AP \) và \( BM \).
- Do \( P \) là trung điểm của \( BC \) và \( AM = MN = NC \), ta có rằng \( AP \) chia \( BM \) thành 2 phần, trong đó tỷ lệ giữa các cạnh là bằng nhau.
- Vì \( AP \) và \( BM \) là đoạn thẳng cắt nhau, theo định lý trung tuyến trong tam giác, đoạn \( MH \) sẽ tỉ lệ với đoạn \( BM \) theo tỷ lệ 1:4 (do trung điểm và phân đoạn của các điểm trên cạnh).

Vậy ta có:

\[
MH = \frac{1}{4} BM
\]

Do đó, hai yêu cầu đều đã được chứng minh.